[论文解读] Toroidal compactifications of integral models of Shimura varieties of Hodge type

Keerthi Madapusi Pera|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 4

一句话总结

本文为霍奇型希米勒簇的积分模型构造了环面紧化与极小紧化，将问题归结为理解这些积分模型本身。它在超特殊水平素数处确立了这些紧化的典范性，并通过p进一致化下霍奇循环的新型有理性性质，给出了对Y. 毛田关于中心模下穆尔福-泰特群为非迷向的阿贝尔簇处处具有良好约化的猜想的新证明。

ABSTRACT

We construct projective toroidal compactifications for integral models of Shimura varieties of Hodge type. We also construct integral models of the minimal (Satake-Baily-Borel) compactification. Our results essentially reduce the problem to understanding the integral models themselves. As such, they cover all previously known cases of PEL type, as well as all cases of Hodge type involving parahoric level structures. At primes where the level is hyperspecial, we show that our compactifications are canonical in a precise sense. We also provide a new proof of Y. Morita's conjecture on the everywhere good reduction of abelian varieties whose Mumford-Tate group is anisotropic modulo center. Along the way, we demonstrate an interesting rationality property of Hodge cycles on abelian varieties with respect to p-adic analytic uniformizations.

研究动机与目标

• 为霍奇型希米勒簇的积分模型构造环面紧化与极小（萨塔克-贝利-博雷尔）紧化。
• 将这些积分模型的紧化问题归结为理解模型本身，从而涵盖所有先前已知的PEL型情形。
• 在水平结构为超特殊的素数处，确立所构造紧化的典范性。
• 为Y. 毛田关于其穆尔福-泰特群模中心为非迷向的阿贝尔簇处处具有良好约化的猜想提供新证明。
• 确立阿贝尔簇上霍奇循环在p进解析一致化下的有理性性质。

提出的方法

• 通过将霍奇型希米勒数据 $(G,X)$ 嵌入一个西格尔希米勒数据 $(\operatorname{GSp}(V), \operatorname{S}^\pm(V))$ 来实现对称性嵌入，从而将积分模型从西格尔模空间上拉回。
• 将积分模型 $\mathcal{S}_K$ 构造为在通用纤维 $\operatorname{Sh}_K(G,X)$ 中对西格尔积分模型 $\mathcal{S}_{{K}^{\dagger}}$ 的正规化。
• 应用对数狄雍内特理论与p进解析一致化，分析p进域上霍奇循环及其有理性性质。
• 采用刚性解析几何与p进指数映射，证明在一致化空间局部环中，函数对数的整性与有界性。
• 利用正规化的有限性与基环的诺特性，证明某些在一致化空间上的解析函数可提升为局部环中的整元素。
• 应用刚性解析空间之间有限映射的理论，推导出整闭包的有限性，从而得出相关函数的整性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为霍奇型希米勒簇的积分模型构造环面紧化与极小紧化？
• RQ2 在水平结构为超特殊的素数处，所构造的紧化是否具有典范性？
• RQ3 在p进一致化下，霍奇循环的有理性是否意味着其在局部环中的整性或有界性？
• RQ4 能否将紧化构造问题归结为对积分模型本身的理解？
• RQ5 该新方法是否能为Y. 毛田关于具有非迷向穆尔福-泰特群模中心的阿贝尔簇的良好约化猜想提供证明？

主要发现

• 本文为霍奇型希米勒簇的积分模型构造了环面紧化与极小紧化，将问题归结为理解积分模型本身。
• 在水平结构为超特殊的素数处，所构造的紧化具有精确意义下的典范性，且不依赖于对称性嵌入的选择。
• 为Y. 毛田关于其穆尔福-泰特群模中心为非迷向的阿贝尔簇处处具有良好约化的猜想提供了新证明。
• 建立了一个有趣的有理性性质：若某函数在p进一致化下的对数为解析函数，则该函数的某个幂属于局部环的极大理想。
• 该构造涵盖了所有先前已知的PEL型情形，并将理论扩展至PEL以外的情形，包括由GSpin群导出的非PEL情形。
• 该方法依赖于p进解析技术，包括p进指数的收敛性以及刚性解析几何中正规化的有限性，从而证明了霍奇循环的整性。