[论文解读] Toroidal Embeddings of Right Groups

Kolja Knauer, Ulrich Knauer|ArXiv.org|Jul 30, 2009

semigroups and automata theory参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文研究右群的凯莱图在环面嵌入但非平面嵌入的情形，聚焦于群分量具有最小生成系的右群。研究证明，此类嵌入存在当且仅当群分量是平面图，且生成系不包含会强制更高亏格的特定配置，方法结合图的亏格理论与通过字典积和右零半群的叉积构造凯莱图。

ABSTRACT

In this note we study embeddings of Cayley graphs of right groups on surfaces. We characterize those right groups which have a toroidal but no planar Cayley graph, such that the generating system of the right group has a minimal generating system of the group as a factor.

研究动机与目标

• 分类其凯莱图为环面但非平面的右群。
• 确定右群的凯莱图可嵌入环面但不可嵌入平面的条件。
• 分析群的生成系在决定凯莱图亏格中的作用。
• 将先前对克利福德半群的研究扩展至更广泛的右群类。
• 基于群分量的平面性与生成集结构提供表征。

提出的方法

• 使用右群 $ G \times R_r $ 的凯莱图构造，其中 $ G $ 为群，$ R_r $ 为右零半群。
• 应用 $ \text{Cay} $-函子，将积半群的图结构与各分量图的字典积和叉积关联。
• 使用欧拉-庞加莱公式 $ n - m + f = 2 - 2g $ 计算嵌入图的亏格界。
• 应用库拉托夫斯基定理与查兰特-哈拉里定理，通过禁止子图测试平面性与外平面性。
• 使用引理 3.5 排除当群凯莱图最小度为 3 且为 3-正则时的环面嵌入。
• 分析具体例子如 $ \mathbb{Z}_6 \times R_2 $ 与生成集 $ \{2,3\} \times R_2 $，通过双环面嵌入的矛盾证明其亏格为 3。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些右群存在凯莱图为环面但非平面？
• RQ2 右群的生成系需满足何种条件，才能使其凯莱图可嵌入环面？
• RQ3 右群凯莱图的亏格如何与底层群分量的亏格相关？
• RQ4 当群分量为平面图时，字典积构造 $ \text{Cay}(S,C)[\text{Cay}(T,D)] $ 是否能产生环面嵌入？
• RQ5 在何种条件下，3-正则平面图与 $ R_2 $ 的积无法实现环面嵌入？

主要发现

• 对于所有生成系，右群 $ G \times R_2 $，其中 $ G \in \{\mathbb{Z}_2, \mathbb{Z}_2 \times D_n, A_4, S_4, A_5, \mathbb{Z}_2 \times A_4, \mathbb{Z}_2 \times S_4, \mathbb{Z}_2 \times A_5, \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_{2n}\} $ 且 $ n \geq 2 $，其凯莱图均不能为环面图。
• 凯莱图 $ \text{Cay}(\mathbb{Z}_6 \times R_2, \{2,3\} \times R_2) $ 的亏格为 3，且不可嵌入环面，通过双环面嵌入的矛盾得证。
• 图 $ \text{Cay}(\mathbb{Z}_6 \times R_2, \{2,3\} \times R_2) \cong (C_3 \Box K_2)[\overline{K}_2] $ 为 6-正则图，含 12 个顶点与 36 条边，其亏格通过欧拉示性数与面分析被证明为 3。
• 对于 $ \mathbb{Z}_2 \times D_n $，唯一避免引理 3.5 条件的生成系为 $ C = \{(1,g_1),(0,g_2)\} $，其生成的凯莱图为同构于 $ C_{4n} $ 的环面图。
• 与 $ R_2 $ 取字典积的操作可使亏格从 0 增至 3，如 $ \mathbb{Z}_6 \times R_2 $ 的例子所示。
• 3-正则平面凯莱图在与 $ R_2 $ 取叉积后无法生成环面凯莱图，原因在于欧拉公式中度数与面结构的约束。