[论文解读] Toroidal normal forms for bifurcations in retarded functional differential equations II: Saddle-node/multiple Hopf interaction

Younsun Choi, Victor G. LeBlanc|ArXiv.org|Jul 4, 2005

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文提出一个框架，用于解决在鞍结点/多重霍普夫分支相互作用下，平衡点附近的滞后型泛函微分方程（RFDEs）的可实现性问题。通过将Faria和Magalhães的正规型程序适配到具有幂零结构的非半单情形，引入一个结合紧致环面与非紧致加法群的对称性群，从而能够应用先前在半单情形下的可实现性结果。关键贡献在于，针对这一复杂分支情形，完整解决了可实现性问题，为具有若尔当代数块的重特征值情形的推广奠定了基础。

ABSTRACT

In this paper, we study the realizability problem for retarded functional differential equations near an equilibrium point undergoing a nonlinear mode interaction between a saddle-node bifurcation and a non-resonant multiple Hopf bifurcation. In contrast to the case of transcritical/multiple Hopf interaction which was studied in an earlier paper, the analysis here is complicated by the presence of a nilpotency which introduces a non-compact component in the symmetry group of the normal form. We present a framework to analyse the realizability problem in this non-semisimple case which exploits to a large extent our previous results for the realizability problem in the semisimple case. Apart from providing a solution to the problem of interest in this paper, it is believed that the approach used here could potentially be adapted to the study of the realizability problem for toroidal normal forms in the general case of repeated eigenvalues with Jordan blocks.

研究动机与目标

• 解决涉及鞍结点与非共振多重霍普夫分支相互作用的标量RFDEs在分支点附近的可实现性问题。
• 克服正规型中幂零性引入的非紧致对称群分量所带来的挑战，该分量在以往的半单情形中并不存在。
• 开发一个框架，尽管存在非紧致对称性，仍能利用半单情形下已有的可实现性结果。
• 提供一种在所需独立时滞数量上最优的完整可实现性解决方案。
• 为将可实现性分析推广至具重特征值与若尔当代数块的一般情形奠定基础。

提出的方法

• 将Faria与Magalhães的正规型程序适配至标量RFDEs中鞍结点/多重霍普夫相互作用的非半单情形。
• 识别正规型的对称群为紧致环面与非紧致加法群（同构于R）的直积，该结构源于鞍结点分量中的幂零性。
• 将正规型分解为径向与角向部分，重点关注由展开参数ν与非线性项控制的径向动力学的可实现性。
• 使用群Γ₀上的投影算子Aˋracket，将函数空间分解为不变子空间，从而分析线性算子L_B,ν的核与像。
• 建立函数空间的直和分解：H^{2p+2+s}_ℓ(R^{2p+1}) = H^{2p+1+s}_ℓ(R^{2p+1}, T^p) ⊕ range L_B,ν，从而可应用先前的半单可实现性结果。
• 应用引理A.1及时间平均的极限性质（通过引理B.1），证明某些分量必须消失，从而严格证明正规型中特定项的消失。

实验结果

研究问题

• RQ1 滞后型泛函微分方程在经历鞍结点/多重霍普夫分支相互作用时，其正规型的结构是什么？
• RQ2 鞍结点分量中幂零项的存在如何影响正规型的对称群？
• RQ3 在非半单情形下，考虑到存在非紧致对称分量，能否解决正规型径向部分的可实现性问题？
• RQ4 先前在半单情形下获得的可实现性结果，在此非紧致设定下能在多大程度上被适配？
• RQ5 在此分支情形下，实现完全可实现性所需的独立时滞数量是否最优？

主要发现

• 由于鞍结点分量中的幂零性，鞍结点/多重霍普夫相互作用的正规型的对称群是紧致环面T^p与同构于R的非紧致群的直积。
• 函数空间可分解为H^{2p+2+s}_ℓ(R^{2p+1}) = H^{2p+1+s}_ℓ(R^{2p+1}, T^p) ⊕ range L_B,ν，从而可应用先前的半单可实现性结果。
• 径向动力学可通过有限个独立时滞在RFDEs中完全实现，且该框架确保此数量为最优。
• 通过时间平均法与线性算子L_B,ν的结构，严格证明了正规型中某些项（如g^x_0与h^x）的消失。
• 可实现性问题的解是最优的，扩展了Faria与Magalhães以及Buono与Bélair的先前结果。
• 该方法可推广至具重特征值与若尔当代数块情形下的环面正规型研究。