[论文解读] Toroidality and projective-planarity of intersection graphs of subgroups of finite groups

R. Rajkumar, P. Devi|arXiv (Cornell University)|May 29, 2015

Finite Group Theory Research参考文献 11被引用 7

一句话总结

本文对交集图是环面或射影平面的有限群进行了分类，给出了此类群的完整特征刻画。此外，还识别出交集图是二分图、完全二分图、树、环或无环的群，并证明了交集图的团覆盖数等于素数阶子群的数量，且该图是弱α-完美图。

ABSTRACT

Let $G$ be a group. The intersection graph of subgroups of $G$, denoted by $\mathscr{I}(G)$, is a graph with all the proper subgroups of $G$ as its vertices and two distinct vertices in $\mathscr{I}(G)$ are adjacent if and only if the corresponding subgroups having a non-trivial intersection in $G$. In this paper, we classify the finite groups whose intersection graph of subgroups are toroidal or projective-planar. In addition, we classify the finite groups whose intersection graph of subgroups are one of bipartite, complete bipartite, tree, star graph, unicyclic, acyclic, cycle, path or totally disconnected. Also we classify the finite groups whose intersection graph of subgroups does not contain one of $K_5$, $K_4$, $C_5$, $C_4$, $P_4$, $P_3$, $P_2$, $K_{1,3}$, $K_{2,3}$ or $K_{1,4}$ as a subgraph. We estimate the girth of the intersection graph of subgroups of finite groups. Moreover, we characterize some finite groups by using their intersection graphs. Finally, we obtain the clique cover number of the intersection graph of subgroups of groups and show that intersection graph of subgroups of groups are weakly $α$-perfect.

研究动机与目标

• 对交集图是环面（亏格1）或射影平面（非可定向亏格1）的有限群进行分类。
• 对交集图属于特定图类（如二分图、完全二分图、树、环、无环）的有限群进行特征刻画。
• 确定哪些有限群的交集图不含特定子图（如$K_5$、$C_4$、$P_4$）。
• 估计有限群子群交集图的围长。
• 通过交集图的同构关系对有限群进行特征刻画，并计算此类图的团覆盖数。

提出的方法

• 定义有限群$G$的交集图$\mathscr{I}(G)$，其顶点为真子群，当两个子群有非平凡交集时连边。
• 利用图论性质（亏格、平面性、子图自由性）根据$\mathscr{I}(G)$的拓扑可嵌入性对群进行分类。
• 应用关于子群结构的群论结果，特别是素数阶子群的数量与分布。
• 证明团覆盖数$\theta(\mathscr{I}(G))$等于$G$中所有素数阶子群的总数。
• 通过证明$\alpha(\mathscr{I}(G)) = \theta(\mathscr{I}(G))$来证明弱$\alpha$-完美性，利用Zelinka关于独立数的结果。
• 通过结构分析和交集图实现的唯一性，从图同构推导出群同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些有限群的子群交集图是环面（亏格1）？
• RQ2 哪些有限群的子群交集图是射影平面（非可定向亏格1）？
• RQ3 对于哪些有限群，$\mathscr{I}(G)$同构于特定图（如$\mathscr{I}(A_4)$、$\mathscr{I}(M_8)$）？
• RQ4 $\mathscr{I}(G)$的围长是多少？它如何随群的结构变化？
• RQ5 $\mathscr{I}(G)$的团覆盖数是多少？$\mathscr{I}(G)$是否是弱$\alpha$-完美图？

主要发现

• 本文对交集图是环面或射影平面的所有有限群进行了分类，给出了完整的结构特征刻画。
• 有限群子群的交集图是弱$\alpha$-完美图，且满足$\alpha(\mathscr{I}(G)) = \theta(\mathscr{I}(G))$，其中$\theta(\mathscr{I}(G))$为团覆盖数。
• 团覆盖数$\theta(\mathscr{I}(G))$等于$G$中所有素数阶子群的总数，该结论通过结构分析和鸽巢原理论证得到证明。
• 有限群子群的交集图是$K_5$-自由图当且仅当它是平面图，且该类群严格包含平面交集图的群类。
• $A_4$、$M_8$、$\mathbb{Z}_q \rtimes_2 \mathbb{Z}_{p^2}$以及某些阶为$p^2qr$的群，可通过其交集图的同构类型被唯一确定。
• 对$\mathscr{I}(G)$的围长进行了估计，且证明了在特定群类中，图是$C_3$-自由、$C_4$-自由和$P_4$-自由的，具体取决于子群格结构。