[论文解读] Torsion dans un produit de courbes elliptiques

Marc Hindry, Nicolas Ratazzi|ArXiv.org|Apr 18, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用 12

一句话总结

该论文解决了关于数域扩张上阿贝尔簇上扭点增长速率的一个猜想，证明对于椭圆曲线的乘积，多项式有界中扭点数量的最优指数由子积维度之和的两倍与它们的Mumford-Tate群维度之比给出。作者证明了此类乘积的 γ(A) = α(A)，改进了Masser的一般界，并根据椭圆曲线是否具有复乘法提供了精确的指数。

ABSTRACT

Let $A$ be an abelian variety defined over a number field $K$, the number of torsion points rational over a finite extension $L$ is bounded polynomially in terms of the degree $[L:K]$. We formulate a question suggesting the optimal exponent for this bound in terms of the dimension of the Mumford-Tate groups of the abelian subvarieties of $A$; we study the behaviour under product and then give a positive answer to our question when $A$ is the product of elliptic curves.

研究动机与目标

• 确定阿贝尔簇 A 在数域有限扩张上扭点数量的最优多项式增长指数 γ(A)。
• 研究通过子积的Mumford-Tate群维度定义的不变量 α(A) 是否给出了该有界中的精确指数。
• 在椭圆曲线乘积的特定情况下，解决 α(A) = γ(A) 的猜想。
• 通过提供依赖于复乘法性质的显式最优指数，改进Masser的一般多项式有界。

提出的方法

• 将 γ(A) 定义为满足对所有 K₀ 的有限扩张 F，有 |A(F) tors| ≪ [F:K₀]^x 的指数 x 的下确界。
• 将 α(A) 定义为所有非空指标子集 I 上的比值 (2∑_{i∈I} n_i dim A_i) / dim MT(∏_{i∈I} A_i) 的最大值。
• 使用伽罗瓦理论方法，根据 [K(H):K] 对 A[ℓ^∞] 的有限子群大小进行有界。
• 将问题简化为分析 ℓ-进扭点上的伽罗瓦作用，并利用伽罗瓦像的结构来控制扭点的增长。
• 应用Mumford-Tate群理论与霍奇理论的结果，将群论不变量与扭点的算术增长联系起来。
• 利用乘积结构的组合分解，将问题约化为对每个因子的行为进行分析，利用已知的单个椭圆曲线的有界。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于Mumford-Tate群维度的不变量 α(A) 是否是有限扩张上扭点数量多项式有界中的最优指数？
• RQ2 对于椭圆曲线的乘积，等式 γ(A) = α(A) 是否成立？
• RQ3 当 A 是具有或不具有复乘法的椭圆曲线乘积时，γ(A) 的精确值是什么？
• RQ4 椭圆曲线乘积中扭点的增长速率是否可由 ℓ-进塔特模上的伽罗瓦表示结构控制？

主要发现

• 对于椭圆曲线的乘积 A = ∏_{i=1}^m E_i，本文证明了 γ(A) = α(A)，从而在该情况下证实了该猜想。
• 当所有 E_i 互不同源且无复乘法时，α(A) = 2m / (1 + 3m)，严格小于 A 的维度。
• 当 r 个 E_i 具有复乘法而 m−r 个不具有时，α(A) = 2r / (1 + r)，其值有界于 2。
• 该结果改进了Masser的一般界，其给出 γ(A) ≤ dim A，现改进为非CM乘积的 γ(A) ≤ 2/3 和CM乘积的 γ(A) ≤ 2。
• 该界是精确的：在这些乘积中，扭点增长无法使用小于 α(A) 的指数。
• 证明表明，最优指数由子积总维度的两倍与其中Mumford-Tate群维度之比的最大值决定。