[论文解读] Torsion-Free Sheaves and Moduli of Generalized Spin Curves

Tyler J. Jarvis|ArXiv.org|Feb 21, 1995

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 9

一句话总结

本文在 ℤ[1/r] 上利用无挠层构造了广义旋曲线（r-自旋曲线）模空间的三个紧化，推广了 Deligne 与 Cornalba 对 r=2 的工作。证明其中一个紧化是光滑的，另一个具有显式的 Gorenstein 奇点，为代数几何与数学物理中研究 r-自旋结构提供了基础框架。

ABSTRACT

This article treats compactifications of the space of generalized spin curves. Generalized spin curves, or $r$-spin curves, are pairs $(X,L)$ with $X$ a smooth curve and $L$ a line bundle whose r-th tensor power is isomorphic to the canonical bundle of $X.$ These are a natural generalization of $2$-spin curves (algebraic curves with a theta-characteristic), which have been of interest recently, in part because of their applications to fermionic string theory. Three different compactifications over $\Bbb{Z}[1/r],$ all using torsion-free sheaves, are constructed. All three yield algebraic stacks, one of which is shown to have Gorenstein singularities that can be described explicitly, and one of which is smooth. All three compactifications generalize constructions of Deligne and Cornalba done for the case when $r=2.$

研究动机与目标

• 将 Deligne 与 Cornalba 对 2-自旋曲线模空间的紧化推广至更高阶的 r-自旋曲线。
• 在 ℤ[1/r] 上利用无挠层构造广义旋曲线的代数堆紧化。
• 分析通过无挠层构造的紧化模空间的奇点，特别是识别 Gorenstein 奇点与光滑情形。
• 在稳定且代数的设定下，将 theta-特征线丛理论推广至 canonical bundle 的 r 次根。
• 为费米子弦理论与 Gromov-Witten 理论中的应用提供几何框架。

提出的方法

• 使用节点曲线上的无挠层来参数化 r-自旋结构，推广 r=2 时的线丛方法。
• 通过无挠层的不同稳定性条件，构造三种不同的紧化。
• 应用代数堆与模理论的技术，确保紧化是代数的且完备的。
• 运用形变理论与局部分析研究模堆的奇点。
• 以 r=2 时的已知结果（Deligne-Cornalba）作为基础情形，推广至任意 r。
• 利用条件 L^⊗r ≅ ω_X 定义 r-自旋曲线，并通过无挠层将此推广至奇异曲线。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在保持代数结构并可控奇点的前提下，对 r-自旋曲线的模空间进行紧化？
• RQ2 通过无挠层构造的紧化模堆的几何性质（如光滑性或 Gorenstein 奇点）是什么？
• RQ3 所提出的三种紧化在多大程度上推广了 r=2 时 Deligne-Cornalba 的构造？
• RQ4 无挠层在稳定奇异曲线上 r-自旋结构的过程中起什么作用？
• RQ5 能否通过无挠层实现 r-自旋曲线模空间的光滑紧化？

主要发现

• 在 ℤ[1/r] 上利用无挠层，构造了 r-自旋曲线模空间的三个不同紧化，均为代数堆。
• 证明其中一个紧化是光滑的，为 r-自旋曲线提供了新的光滑模空间。
• 另一个紧化具有显式描述的 Gorenstein 奇点，其局部方程可明确写出。
• 该构造将 Deligne 与 Cornalba 对 2-自旋曲线的工作推广至任意 r ≥ 2。
• 无挠层的使用使得即使在曲线奇异时，也能实现稳定且代数的紧化。
• 证明模堆是完备且代数的，具有良好定义的几何与堆论性质。