[论文解读] Torsion in the Coherent Cohomology of Shimura Varieties and Galois Representations

George Boxer|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 25被引用 28

一句话总结

本文提出一种方法，通过适配至埃凯达尔-奥特分解的广义哈塞不变量，在希姆拉簇的相干上同调中构造权形式特征类之间的同余关系。关键结果表明，某些相干上同调群可从高权上同调中通过Hecke-等变满射得到，从而实现从模p的模形式构造扭Galios表示。

ABSTRACT

We introduce a method for producing congruences between Hecke eigenclasses, possibly torsion, in the coherent cohomology of automorphic vector bundles on certain good reduction Shimura varieties. The congruences are produced using some "generalized Hasse invariants" adapted to the Ekedahl-Oort stratification of the special fiber.

研究动机与目标

• 为解决模p的幽灵模形式——即无法上移至特征零的模形式——的问题，通过研究希姆拉簇相干上同调中的扭来实现。
• 开发一种几何方法，用于在具有良好减少的希姆拉簇的自守向量丛相干上同调中，生成Hecke特征类（包括扭类）之间的同余关系。
• 通过埃凯达尔-奥特分解，将经典哈塞不变量扩展至算术紧化边界。
• 建立从高权相干上同调到低权上同调的Hecke-等变满射，从而实现伽罗瓦表示的转移。
• 为从相干上同调中的扭类构造模p伽罗瓦表示提供一个框架，尤其关注权一形式与扭现象。

提出的方法

• 引入适配于PEL型希姆拉簇特殊纤维的埃凯达尔-奥特分解的广义哈塞不变量，将经典哈塞不变量推广至非典型区域。
• 利用截断巴尔索蒂-塔特群的典范滤过，定义开埃凯达尔-奥特层上的广义哈塞不变量，尤其在帕拉霍里水平结构的背景下。
• 应用科特维茨-拉波波特分层与局部模型，分析在托里伊和最小紧化中的边界结构。
• 通过逐级商同构于自守向量丛上同调的滤过构造相干上同调的滤过，利用高阶直接像的消去定理。
• 运用提升引理与归纳论证，将哈塞不变量扩展至边界，确保与Hecke作用的相容性。
• 通过限制映射、上同调的消去性以及Hecke-稳定截面的作用，结合构造从高权上同调到低权上同调的Hecke-等变满射。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构建并扩展广义哈塞不变量，使其适用于希姆拉簇算术紧化的边界？
• RQ2 埃凯达尔-奥特分解在组织特殊纤维结构及实现相干上同调中同余关系的构造中起什么作用？
• RQ3 相干上同调中的扭Hecke特征类能否用于构造模p伽罗瓦表示，特别是在权一模形式的情形下？
• RQ4 在存在扭的情况下，自守向量丛的上同调群在Hecke作用下的行为如何？
• RQ5 最小紧化与托里伊紧化相干上同调之间的关系是什么？这如何影响同余关系的构造？

主要发现

• 本文构造了从高权自守向量丛相干上同调到低权丛上同调的Hecke-等变满射，确立了Hecke特征类之间的同余关系。
• 证明了相干上同调群 $ H^n(\tilde{X}_n, (V_{\rho,K}^{\text{sub}} \times \tilde{\rho}^{\text{sub}} \times \tilde{\rho}^{\text{sub}}) \times \tilde{\rho}^{\text{sub}}) $ 是 $ H^0(\tilde{X}_n, (V_{\rho,K}^{\text{sub}} \times \tilde{\rho}^{\text{sub}} \times \tilde{\rho}^{\text{sub}}) \times \tilde{\rho}^{\text{sub}}) $ 的Hecke-等变子商，确认了同余关系的存在。
• 广义哈塞不变量可延伸至最小紧化的边界，使得即使在边界分量上也能构造同余关系。
• 上同调群 $ H^1(\tilde{X}_n, V_{\rho',K}^{\text{sub}} \times \tilde{\rho}^{\text{sub}} \times \tilde{\rho}^{\text{sub}}) $ 模 $ \tilde{\rho}^{\text{sub}} $ 为零，这对约化映射的满射性至关重要。
• 构造了一个 $ \tilde{\rho}^{\text{sub}} $ 的Hecke-稳定截面 $ \tilde{A}_n $，其通过乘法诱导Hecke-等变单射，从而实现特征系统转移。
• 该方法证实，相干上同调中的扭类可产生伽罗瓦表示，尤其在模p权一模形式的背景下，解决了幽灵形式的问题。