[论文解读] Torsion points of abelian varieties in abelian extensions

Wolfgang M. Ruppert|ArXiv.org|Mar 13, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用 6

一句话总结

本文建立了关于定义在数域 K 上的阿贝尔簇 A 在其最大阿贝尔扩张 Kab 上的扭点有限性的判定准则。证明表明，此类扭点有限当且仅当 A 在 K 上没有具有复乘法的阿贝尔子簇。该结果为 Ribet 关于分圆扩张上扭点有限性的定理提供了新的证明，并通过复乘法理论深化了对阿贝尔扩张中扭点结构的理解。

ABSTRACT

Let A be an abelian variety defined over a number field K and let Kab be the maximal abelian extension of K. We show that there only finitely many torsion points of A which are defined over Kab iff A has no abelian subvariety with complex multiplication over K. We use this to give another proof of Ribet's result that A has only finitely many torsion points which are defined over the cyclotomic extension of K.

研究动机与目标

• 确定定义在数域 K 上的阿贝尔簇 A 的扭点集合在最大阿贝尔扩张 Kab 上有限的条件。
• 阐明复乘法在阿贝尔扩张上扭点结构中的作用。
• 为 Ribet 关于分圆扩张上扭点有限性的定理提供另一种证明。
• 刻画控制阿贝尔扩张中扭点有限性的几何与算术条件——特别是 CM 子簇的存在或缺失。
• 通过复乘法与伽罗瓦表示的视角，拓展对非阿贝尔与阿贝尔扩张中扭点的理解。

提出的方法

• 利用伽罗瓦理论技术分析绝对伽罗瓦群在阿贝尔簇 A 的 Kab 上扭点上的作用。
• 应用复乘法理论中的结果，特别是 CM 阿贝尔簇的自同态环结构。
• 论证的关键在于：若 A 在 K 上有 CM 子簇，则其扭点上的伽罗瓦作用受到约束，从而在 Kab 上可产生无穷多个扭点。
• 反之，若不存在此类 CM 子簇，则扭点上的伽罗瓦表示足够大，可强制在 Kab 上实现有限性。
• 本文利用最大阿贝尔扩张 Kab 的结构分析扭点的分裂行为及其伽罗瓦轨道。
• 将问题约化为伽罗瓦表示像的问题，并应用类域论来控制扭点生成的域。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，定义在数域 K 上的阿贝尔簇 A 在最大阿贝尔扩张 Kab 上的扭点集合是有限的？
• RQ2 A 在 K 上的 CM 子簇的存在如何影响扭点在阿贝尔扩张中的分布？
• RQ3 能否通过涉及复乘法的几何准则，重新证明 Ribet 关于分圆扩张上扭点有限性的结果？
• RQ4 CM 子簇的存在与扭点在阿贝尔扩张中的稠密性之间存在何种精确关系？
• RQ5 在缺乏 CM 子簇的情况下，该条件在多大程度上能确保 Kab 上所有扭点的有限性？

主要发现

• 定义在 Kab 上的阿贝尔簇 A 的扭点集合是有限的，当且仅当 A 在 K 上没有具有复乘法的阿贝尔子簇。
• 本文为 Ribet 定理提供了新证明，该定理指出：A 在 K 的分圆扩张上仅有有限多个扭点。
• 若在 K 上存在 CM 子簇，则 A 在 Kab 上有无穷多个定义在该扩张上的扭点。
• 若不存在 CM 子簇，则扭点上的伽罗瓦作用足够大，可防止在 Kab 上出现无限累积。
• 该结果基于子簇的 CM 性质，在阿贝尔扩张中扭点有限性上建立了清晰的二分法。
• 证明依赖于伽罗瓦表示与类域论的深刻结果，将 A 的算术性质与其几何结构联系起来。