[论文解读] Torsion type invariants of singularities

Huijun Fan, Hao Fang|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 22被引用 3

一句话总结

本文建立了在 $\mathbb{C}^n$ 上非退化的准齐次奇点相关的薛定谔算子的热核展开的存在性，证明了一个局部指标公式，将 Milnor 数表示为高斯型积分。文章引入了基于热迹的新型挠率型谱不变量，为 LG/CY 对偶性背景下奇点不变量提供了新颖的分析方法。

ABSTRACT

Inspired by the LG/CY correspondence, we study the local index theory of the Schrödinger operator associated to a singularity defined on ${\mathbb C}^n$ by a quasi-homogeneous polynomial $f$. Under some mild assumption on $f$, we show that the small time heat kernel expansion of the corresponding Schrödinger operator exists and is a series of fractional powers of time $t$. Then we prove a local index formula which expresses the Milnor number of $f$ by a Gaussian type integral. Furthermore, the heat kernel expansion provides spectral invariants of $f$. Especially, we define torsion type invariants associated to a singularity. These spectral invariants provide a new direction to study the singularity.

研究动机与目标

• 为由准齐次多项式定义的奇点上的 $\bar{\partial}_f$-拉普拉斯算子发展局部指标理论。
• 在非紧、矩阵型薛定谔算子具有无界势能的条件下，建立时间分数幂的短时间热核展开的存在性。
• 定义并研究受 Calabi-Yau 镜像对称中 BCOV 扰率启发的奇点挠率型谱不变量。
• 通过热核迹渐近展开，证明一个局部指标公式，将 Milnor 数表示为高斯积分。
• 探讨这些不变量在奇点直和下的行为，特别关注 $A_r$ 情形。

提出的方法

• 在准齐次多项式 $f$ 的温和驯服性和权条件之下，证明热核 $e^{-t\Delta_f}$ 属于迹类算子。
• 通过迭代误差项 $R_k$ 构造算子 $L = \partial_t + \Delta_f$ 的拟逆 $P_k$，确保级数 $P = \sum_{i=0}^\infty (-1)^i P^i_k$ 的收敛性。
• 建立热核展开 $\operatorname{tr}(e^{-t\Delta_f}) \sim \sum_{j=0}^\infty a_j t^{j/2}$ 当 $t \to 0^+$，其中系数依赖于局部几何与势能增长。
• 通过将 $L^2$ $\bar{\partial}_f$-上同调欧拉示性数与热核迹的高斯积分关联，推导出局部指标公式。
• 通过 $\Delta_f^0$ 的特征值 $\lambda_i$ 定义谱挠率 $T^2(f)$，使用 $\Theta^2_f(s) = \sum_{i=1}^\infty \lambda_i^{-s}$ 的 zeta-正则化迹。
• 分析 $T^2(f)$ 在奇点直和下的行为，证明一个涉及 Milnor 数与交错符号的乘法异常公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $f$ 的温和条件下，$\mathbb{C}^n$ 上 $\bar{\partial}_f$-拉普拉斯算子的热核是否允许在时间的分数幂下展开？
• RQ2 非退化的准齐次奇点的 Milnor 数是否能通过谱数据表示为高斯型积分？
• RQ3 从 $\bar{\partial}_f$-拉普拉斯算子谱导出的挠率型不变量具有哪些性质？它们在奇点直和下如何行为？
• RQ4 对于 $A_r$ 型奇点，谱 zeta 函数 $\Theta^2_f(s)$ 如何行为？由此得到的解析挠率是什么？
• RQ5 是否存在关于直和奇点的挠率不变量 $T^2(f_1 \oplus f_2)$ 的乘法异常公式，以 Milnor 数和 $T^2(f_1), T^2(f_2)$ 表示？

主要发现

• 在条件 $q_M - q_m < \frac{1}{3}$ 下，$\partial_t + \Delta_f$ 的热核 $P(\mathbf{z}, \mathbf{w}, t)$ 存在，并作为 $t$ 的分数幂级数收敛。
• Milnor 数 $\mu(f)$ 由高斯积分 $\int_{\mathbb{C}^n} \operatorname{tr}(P(\mathbf{z}, \mathbf{z}, t)) \, d\mathbf{z}$ 给出，当 $t \to 0^+$ 时，提供了一个局部指标公式。
• 谱挠率 $T^2(f)$ 通过热核的 zeta-正则化迹定义，对于 $A_r$ 奇点 $f = \frac{\tau z^2}{2}$，其值为 $T^2(f) = (2|\tau|)^{-1/12} e^{-\zeta'(-1)}$。
• 挠率不变量满足乘法异常公式 $\log T^2(f_1 \oplus f_2) = (-1)^{n_1}\mu(f_1)\log T^2(f_2) + (-1)^{n_2}\mu(f_2)\log T^2(f_1)$，适用于奇点的直和。
• 热核展开对 $k > \frac{3l_0 + n + 1 + 2\sum q_i}{\delta}$ 有效，其中 $\delta = \frac{1 - 3(q_M - q_m)}{3(1 - q_M)}$，确保收敛性及指定阶导数的光滑性。
• 在一维谐振子情形（$f = \frac{\tau z^2}{2}$）下，谱 zeta 函数为 $\Theta^2_f(s) = (2|\tau|)^{-s} \zeta(s-1)$，其中 $\zeta(s)$ 为黎曼 zeta 函数。