[论文解读] Torus actions on cohomology complex generalized Bott manifolds

Suyoung Choi|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2011

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文证明了对于同调同构于广义Bott流形或复射影空间乘积的环面流形，庞特里亚金类在上同调环同构下保持不变。通过将佩特里定理推广到这一更广泛的流形类，本文证明了此类同构保持庞特里亚金类，从而表明在这些情况下，同伦等价类下仅有有限多个环面流形存在。

ABSTRACT

A torus manifold is a closed smooth manifold of dimension $2n$ having an effective smooth $T^n = (S^1)^n$-action with non-empty fixed points. Petrie \cite{petrie:1973} has shown that any homotopy equivalence between a complex projective space $\CP^n$ and a torus manifold homotopy equivalent to $\CP^n$ preserves their Pontrjagin classes. A \emph{generalized Bott manifold} is a closed smooth manifold obtained as the total space of an iterated complex projective space bundles over a point, where each fibration is a projectivization of the Whitney sum of a finite many complex line bundles. For instance, we obtain a product of complex projective spaces if all fibrations are trivial. If each fiber is $\CP^1$, then we call it an (ordinary) \emph{Bott manifold}. In this paper, we investigate the invariance of Pontrjagin classes for torus manifolds whose cohomology ring is isomorphic to that of generalized Bott manifolds. We show that any cohomology ring isomorphism between two torus manifolds whose cohomology ring is isomorphic to that of a product of projective spaces preserves their Pontrjagin classes, which generalizes the Petrie's theorem. In addition, we show that any cohomology ring isomorphism between two torus cohomology Bott manifolds preserves their Pontrjagin classes. As a corollary, there are at most a finite number of torus manifolds homotopy equivalent to either a given product of complex projective space or a given Bott manifold.

研究动机与目标

• 将佩特里定理中关于复射影空间的庞特里亚金类不变性推广至同调同构于广义Bott流形的环面流形。
• 研究当环面流形的上同调环同构于复射影空间乘积时，其上同调环同构是否保持其庞特里亚金类。
• 确定在环面上同调Bott流形这一特殊情况下，此类同构是否也保持庞特里亚金类。
• 建立与给定复射影空间乘积或给定Bott流形同伦等价的环面流形的有限性结果。

提出的方法

• 作者分析了上同调环同构于广义Bott流形的环面流形，利用复线丛的惠特尼和的迭代射影化结构。
• 他们应用等变上同调与环面作用的技术，研究此类流形的不动点数据和特征类。
• 证明依赖于广义Bott流形情形下上同调环决定其拓扑类型，特别是通过其关联的Bott塔结构。
• 作者利用庞特里亚金类在同伦等价下的不变性，并通过上同调刚性将此性质扩展至同调同构于广义Bott流形的环面流形类。
• 他们利用广义Bott流形的上同调环由线丛的一阶陈类生成的事实，实现对特征类的显式计算。
• 论证过程通过证明任意此类流形之间的上同调环同构必须保持代表庞特里亚金类的整上同调类来推进。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于上同调环同构于复射影空间乘积的环面流形，庞特里亚金类在上同调环同构下是否保持不变？
• RQ2 能否通过上同调环同构将佩特里定理中关于庞特里亚金类保持性的结论推广至广义Bott流形？
• RQ3 在环面上同调Bott流形之间，庞特里亚金类是否在上同调环同构下保持不变？
• RQ4 与给定复射影空间乘积或给定Bott流形同伦等价的环面流形是否仅有有限多个？

主要发现

• 任意两个上同调同构于复射影空间乘积的环面流形之间的上同调环同构，均保持其庞特里亚金类。
• 该保持性质同样适用于环面上同调Bott流形，将佩特里的结果从复射影空间推广至更广范围。
• 庞特里亚金类在更广义的环面流形类（其上同调为广义Bott流形）中，于上同调环同构下保持不变。
• 与给定复射影空间乘积或给定Bott流形同伦等价的环面流形的有限性，源于这些类的上同调刚性。
• 结果表明，这些流形的上同调环结构足以确定庞特里亚金类在同构下的不变性。
• 本研究证实，上同调环中编码的拓扑不变量足够强大，可控制此类环面流形中的特征类。