[论文解读] Torus invariant transverse Kähler foliations

Hiroaki Ishida|arXiv (Cornell University)|May 22, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 7被引用 7

一句话总结

本文建立了在紧致复流形上具有极大环作用的 torus-不变横Kähler叶状结构的矩映射像的凸性，证明此类叶状结构为横Kähler当且仅当底流形为LVM流形。关键贡献通过证明LVMB流形仅在为LVM流形时才允许横Kähler叶状结构，从而解决了Cupit-Foutou与Zaffran的猜想。

ABSTRACT

In this paper, we show the convexity of the image of a moment map on a transverse symplectic manifold equipped with a torus action under a certain condition. We also study properties of moment maps in the case of transverse Kähler manifolds. As an application, we give a positive answer to the conjecture posed by Cupit-Foutou and Zaffran.

研究动机与目标

• 解决Cupit-Foutou与Zaffran关于LVMB流形与LVM流形在配备横Kähler叶状结构时等价性的猜想。
• 在紧致复流形上具有环作用的横Kähler叶状结构下，建立矩映射的存在性与凸性。
• 利用矩映射几何与多面体扇形，刻画由环作用诱导的全纯叶状结构为横Kähler的条件。
• 将Atiyah-Guillemin-Sternberg的凸性定理推广至具有环作用的叶状流形上的横辛与Kähler形式设定。

提出的方法

• 将Atiyah-Guillemin-Sternberg的凸性定理适配至具有环作用的叶状流形上的横辛与Kähler形式。
• 为商空间 M = X(Δ_Σ)/H 构造一个提升的矩映射 Φ̃: M → (g/g_J)*，并证明其像为凸多面体。
• 利用在环境空间 X(Δ_Σ) 上的矩映射 Φ，并通过对偶映射 i* 限制，得到在水平集 (i*∘Φ)^{-1}(β) 上的横矩映射。
• 应用 g/g_J 中完全扇形 q(Δ) 的理论，将叶状结构的几何与矩映射像的多面体性联系起来。
• 建立叶状结构 F_g_J 的横Kähler性质与扇形 q(Δ) 的多面体性之间的等价性。
• 利用等变全纯主丛，在商空间之间传递横Kähler结构与矩映射性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在紧致复流形上，环作用在什么条件下允许在叶状结构 F_g_J 上存在横Kähler形式的矩映射？
• RQ2 在环作用下，横Kähler叶状结构的矩映射像是否总是凸的？
• RQ3 LVMB流形上的叶状结构 F_g_J 具有横Kähler性质是否意味着该流形为LVM流形？
• RQ4 能否通过关联扇形 q(Δ) 的组合性质表征矩映射像的凸性？
• RQ5 是否存在LVMB流形在矩映射几何下可允许横Kähler叶状结构的完整刻画？

主要发现

• 当且仅当叶状结构 F_g_J 为横Kähler时，提升矩映射 Φ̃: M → (g/g_J)* 的像为凸多面体。
• 当且仅当叶状结构 F_g_J 为横Kähler时，存在关于 M 上任意 G-不变横Kähler形式的矩映射 Φ: M → g*。
• LVMB流形 X(Δ_Σ)/H 上的叶状结构 F_g_J 为横Kähler当且仅当扇形 q(Δ) 为多面体。
• Cupit-Foutou与Zaffran的猜想得到证实：LVMB流形为LVM流形当且仅当其典范叶状结构 F_g_J 为横Kähler。
• Φ̃ 在 M 上的矩映射像为扇形 q(Δ) 的内法多面体，建立了几何与组合之间的直接联系。
• 矩映射的构造及其凸性推广了经典 Atiyah-Guillemin-Sternberg 定理至非Kähler流形上的横Kähler叶状结构设定。