[论文解读] Total Colourings - A survey

Geetha Jayabalan, N. Narayanan+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2018

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 94被引用 5

一句话总结

本文对1996年以来图的总体着色进行了全面综述，重点研究平面图与非平面图，为单位Cayley图、模拟阈值图和奇图等新图类提供了TCC（总体着色猜想）成立的新证明。综述了使用放电法在平面图上的研究进展，建立了特定图类的线性时间算法，分析了总体着色的计算复杂性，确认了在若干情况下为NP完全问题，同时识别出可解的子类。

ABSTRACT

The smallest integer $k$ needed for the assignment of colors to the elements so that the coloring is proper (vertices and edges) is called the total chromatic number of a graph. Vizing and Behzed conjectured that the total coloring can be done using at most $Δ(G)+2$ colors, where $Δ(G)$ is the maximum degree of $G$. It is not settled even for planar graphs. In this paper we give a survey on total coloring of graphs.

研究动机与目标

• 提供1996年至今总体着色研究的全面综述，更新此前截至1995年的综述。
• 研究总体着色猜想（TCC）在特定图类（包括单位Cayley图、模拟阈值图和奇图）中的有效性。
• 分析总体着色的计算复杂性，识别出问题为线性时间可解或NP完全的图类。
• 通过在度数与围长约束下应用放电法，扩展平面图的结果，尤其针对Δ(G) ≥ 6的情况。
• 提出针对结构化图类（包括区间图与弦图）的最优总体着色新算法方法。

提出的方法

• 将放电法应用于平面图，为顶点分配初始电荷，并通过预定义规则重新分配电荷，以证明可约配置的存在性。
• 采用基于配置的可约性分析，证明某些子图不可能出现在TCC的最小反例中。
• 针对单位Cayley图与奇图等特定图类，设计了基于结构分解与染色规则的构造性总体着色方法。
• 对有根路径图应用贪心邻域着色算法，在O(|V| + |E|)时间内实现总体着色。
• 通过归约与分解技术进行复杂性分析，尤其针对无单弦图与无圈图。
• 利用动态规划与结构特性，为区间图与部分k-树类推导出线性时间算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 总体着色猜想是否对单位Cayley图、模拟阈值图与奇图成立？
• RQ2 放电法能否有效应用于证明Δ(G) ≥ 6且满足特定围长约束的平面图的TCC？
• RQ3 对于最大度有界的二分无单弦图与{正方形, 无单弦}无环图，总体着色的计算复杂性如何？
• RQ4 是否存在弦图与对偶弦图的最优总体着色线性时间算法？
• RQ5 能否高效判定立方二分图的均衡总体着色？

主要发现

• 总体着色猜想对单位Cayley图、模拟阈值图与奇图成立，其总体色数为Δ(G) + 2。
• 不含相邻三角形或4-圈的平面图，当Δ(G) = 6时为8-可着色，证实了在该约束下Δ(G) = 6时TCC成立。
• 对于Δ(G) ≥ 9的平面图，TCC成立且其为I型图，即χ′′(G) = Δ(G) + 1。
• 存在一个O(|V| + |E| + Δ²)时间的线性时间算法用于区间图的总体着色，证实了对偶度区间图的TCC成立。
• 总体着色问题在二分无单弦图中为NP完全，且在立方二分图的均衡总体着色中也为NP完全。
• s-退化图的总体着色可在O(n log n)时间内求解，且对有界k的局部k-树存在线性时间算法。