[论文解读] Total Colourings of Direct Product Graphs

Kyle MacKeigan, Jeannette Janssen|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2018

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文通过使用 $\Delta + 1$ 种颜色构造一种总着色，证明了当 $n$ 或 $m$ 至少有一个为偶数且 $n, m \geq 3$ 时，完全图 $K_n \times K_m$ 的直接积的总色数为 $\Delta + 1$。其关键方法是将已知的 $J_{2m}$（冠图）的总着色扩展至 $K_n \times K_m$，通过边着色和顶点着色技术，证明在此条件下此类积图属于 I 型图。

ABSTRACT

A graph is $k$-total colourable if there is an assignment of $k$ different colours to the vertices and edges of the graph such that no two adjacent nor incident elements receive the same colour. The total chromatic number of some direct product graphs are determined. In particular, a sufficient condition is given for direct products of bipartite graphs to have total chromatic number equal to its maximum degree plus one. Partial results towards the total chromatic number of $K_n imes K_m$ are also established.

研究动机与目标

• 确定直接积图的总色数，特别是 $K_n \times K_m$ 的总色数。
• 建立直接积图为 I 型图（即总色数为 $\Delta + 1$）的充分条件。
• 通过直接积将关于 $K_n \times K_2$ 的已知结果推广至更广泛的二分图类 $H$。
• 解决当 $n$ 或 $m$ 为偶数时 $K_n \times K_m$ 的总着色状态，而奇数情况仍为开放问题。

提出的方法

• 通过利用已知的冠图 $J_{2m}$（即 $K_m \times K_2$ 去除一个完美匹配后得到的图）的总着色，构造 $K_n \times K_m$ 的总着色。
• 基于 $J_{2m}$ 总着色中不同的顶点着色，为 $K_n \times K_m$ 中的顶点分配颜色，确保相邻顶点颜色不同。
• 使用 $n-2$ 种颜色对 $K_n$ 进行边着色（由于 $n$ 为偶数，此操作可行），并通过结构化公式为 $K_n \times K_m$ 中的边分配颜色：当 $l(v_i v_j) = c \geq 1$ 时，$g((v_i,u_k)(v_j,u_t)) = c(m-1) + f(x_k y_t) + 1$，其中 $f$ 是 $J_{2m}$ 的正常边着色。
• 利用彩虹匹配和正常边着色的性质，确保边着色不与顶点着色冲突，并满足正确的关联与邻接约束。
• 通过证明所有顶点和边的颜色分配均互不相同且无冲突，证明该总着色恰好使用了 $\Delta(K_n \times K_m) + 1 = (n-1)(m-1) + 1$ 种颜色。
• 将结果应用于证明：若 $G \times K_2$ 为 I 型图，则对任意二分图 $H$，$G \times H$ 也为 I 型图，从而将结果推广至完全图之外的更广范围。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下 $K_n \times K_m$ 的总色数等于 $\Delta + 1$？
• RQ2 $K_n \times K_2$ 的总着色结果能否推广至任意二分图 $H$ 的 $K_n \times H$？
• RQ3 当 $n$ 或 $m$ 为偶数且 $n, m \geq 3$ 时，$K_n \times K_m$ 是否为 I 型图？
• RQ4 直接积图的何种结构特性使其能够实现 $\Delta + 1$ 的总着色？

主要发现

• 若 $n$ 或 $m$ 为偶数且 $n, m \geq 3$，则 $K_n \times K_m$ 为 I 型图，即其总色数为 $\Delta(K_n \times K_m) + 1 = (n-1)(m-1) + 1$。
• 本文通过显式构造一种使用恰好 $(n-1)(m-1) + 1$ 种颜色的总着色，确认在所述条件下总色数确实为 $\Delta + 1$。
• 对于任意二分图 $H$，若 $G \times K_2$ 为 I 型图，则 $G \times H$ 也为 I 型图，从而将结果推广至完全图之外的更广范围。
• 通过将 $K_n$ 的正常边着色与 $J_{2m}$ 的总着色相结合，利用确保无颜色冲突的公式，实现了 $K_n \times K_m$ 的总着色。
• 该构造依赖于 $K_{m,m}$ 中的完美彩虹匹配，该匹配允许在 $J_{2m}$ 的每个二分部中使用不同颜色进行顶点着色，从而实现向 $K_n \times K_m$ 的一致扩展。
• 当 $n$ 和 $m$ 均为奇数时，$K_n \times K_m$ 的总色数仍为开放问题，因为该方法无法推广至此情况。