[论文解读] Total dominator chromatic number of some operations on a graph

Nima Ghanbari, ‎Saeid Alikhani|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2016

Advanced Graph Theory Research被引用 4

一句话总结

本文研究了在各种图操作下总支配色数（$\chi_d^t$）的变化，包括顶点/边删除、边收缩以及邻接边移除（$G \odot v$）。研究建立了这些操作下$\chi_d^t$变化的紧致界，表明在顶点收缩下色数最多增加$\deg(v)+1$，在邻接边移除下最多减少$\deg(v)-1$，并提供了紧致示例。

ABSTRACT

Let $G$ be a simple graph. A total dominator coloring of $G$ is a proper coloring of the vertices of $G$ in which each vertex of the graph is adjacent to every vertex of some color class. The total dominator chromatic number $χ_d^t(G)$ of $G$ is the minimum number of colors among all total dominator coloring of $G$. In this paper, we examine the effects on $χ_d^t(G)$ when $G$ is modified by operations on vertex and edge of $G$.

研究动机与目标

• 研究图通过顶点和边操作修改时，总支配色数（$\chi_d^t$）的行为。
• 为顶点删除、边删除、边收缩以及$G \odot v$操作下的$\chi_d^t$建立上界和下界。
• 确定色数在结构修改下的变化情况，特别是与顶点度数和连通性的关系。
• 提供紧致示例以证明所推导边界的紧致性。

提出的方法

• 使用总支配色 coloring（TDC）——一种正常着色，其中每个顶点均与某一其他颜色类的所有顶点相邻——将$\chi_d^t(G)$定义为满足此条件的最少颜色类数量。
• 基于颜色类分布（例如，被删除或收缩的边的端点是否同色）进行情况分析，以推导边界。
• 通过调整与修改顶点或边相邻的顶点的颜色，构造修改后图的TD-着色，确保总支配条件得以保持。
• 利用路径、环、完全图和星图的$\chi_d^t$已知结果，验证边界并构造紧致示例。
• 使用归纳法和结构分解，证明$\chi_d^t(G - v)$、$\chi_d^t(G - e)$、$\chi_d^t(G / v)$和$\chi_d^t(G \odot v)$的边界。
• 通过极值图验证边界：$K_{2,4}$用于收缩，$C_5$用于收缩下界，$K_n$用于邻接边移除。

实验结果

研究问题

• RQ1 当从连通图中删除一个顶点时，总支配色数$\chi_d^t$如何变化？
• RQ2 当从连通图中移除一条非桥边$e$时，$\chi_d^t(G - e)$的紧致上界和下界是什么？
• RQ3 在边收缩$G / v$下，$\chi_d^t$的行为如何？其与被收缩顶点度数的依赖关系是什么？
• RQ4 移除顶点$v$的所有邻接点之间的边（即$G \odot v$）对$\chi_d^t$有何影响？
• RQ5 比值$\chi_d^t(G)/\chi_d^t(G \odot v)$是否可以任意大？如果是，在何种条件下？

主要发现

• 对于非桥边删除$G - e$，有$\chi_d^t(G) - 1 \leq \chi_d^t(G - e) \leq \chi_d^t(G) + 2$，且两个边界均为紧致。
• 对于顶点删除$G - v$，有$\chi_d^t(G - v) \leq \chi_d^t(G) + 1$，且下界$\chi_d^t(G - v) \geq \chi_d^t(G) - 1$也是紧致的。
• 在边收缩$G / v$下，总支配色数满足$\chi_d^t(G) - 2 \leq \chi_d^t(G / v) \leq \chi_d^t(G) + \deg(v) - 1$，且两个边界均为紧致。
• 对于$G \odot v$操作（即移除$v$的邻接点之间的边），边界为$\chi_d^t(G) - \deg(v) + 1 \leq \chi_d^t(G \odot v) \leq \chi_d^t(G) + 1$，且两个边界均为紧致。
• 比值$\chi_d^t(G)/\chi_d^t(G \odot v)$可以任意大，如当$G = K_n$且$G \odot v = S_n$时，有$\chi_d^t(K_n) = n$，$\chi_d^t(S_n) = 2$，因此比值为$n/2$。
• 紧致示例包括：$K_{2,4}$用于收缩（从$\chi_d^t = 2$变为$\chi_d^t = 5$），$C_5$用于收缩下界（从$\chi_d^t = 4$变为$\chi_d^t = 4$），证实了边界的紧致性。