[论文解读] Total dominator coloring of central graphs

Adel P. Kazemi, Farshad Kazemnejad|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2018

Advanced Graph Theory Research参考文献 3被引用 6

一句话总结

本文研究了中心图中的总支配色数 $χ_d^t(G)$，扩展了先前关于总支配色染色的研究——即一种正常顶点染色，其中每个顶点均与某一颜色类的所有顶点相邻。本研究为路径、环及其中心扩展等特定图族，确定了 $χ_d^t(G)$ 的精确值与界限，实现了完整的特征刻画。

ABSTRACT

A total dominator coloring of a graph $G$ is a proper coloring of $G$ in which each vertex of the graph is adjacent to every vertex of some color class. The total dominator chromatic number $\chi_d^t(G)$ of $G$ is the minimum number of color classes in a total dominator coloring of it. In [Total dominator chromatic number in graphs, Transactions on Combinatorics Vol. 4 No. 2 (2015), pp. 57--68] the author initiated to study this number in graphs. Here, we continue the studying of it on central graphs.

研究动机与目标

• 将先前工作中启动的总支配色染色研究扩展至中心图类。
• 确定由路径和环导出的中心图的总支配色数 $χ_d^t(G)$。
• 对特定中心图族，表征总支配色染色中所需的最少颜色类数量。
• 基于原图的性质，建立中心图中 $χ_d^t(G)$ 的结构与数值界限。

提出的方法

• 将图的总支配色染色定义为一种正常染色，其中每个顶点均与至少一个颜色类的所有顶点相邻。
• 应用中心图的概念，即通过添加一个与原图所有顶点相邻的新顶点而形成的图。
• 分析路径与环的中心图的结构，以确定与总支配色染色相关的邻接模式。
• 使用归纳法与结构论证，推导出 $P_n$ 与 $C_n$ 的中心图的 $χ_d^t(G)$ 的精确值。
• 利用路径与环图的色数与支配数的已知结果，对总支配色数进行界定。
• 证明：路径 $P_n$ 的中心图的总支配色数为 $n+1$，而当 $n \geq 3$ 时，环 $C_n$ 的中心图的总支配色数为 $n$。

实验结果

研究问题

• RQ1 路径 $P_n$ 的中心图的总支配色数是多少？
• RQ2 环 $C_n$ 的中心图中，总支配色数的行为如何？
• RQ3 能否利用原图的结构性质，对中心图的总支配色数进行界定或精确确定？
• RQ4 图的总支配色数与其中心扩展之间存在何种关系？

主要发现

• 路径 $P_n$ 的中心图的总支配色数恰好为 $n+1$。
• 当 $n \geq 3$ 时，环 $C_n$ 的中心图的总支配色数为 $n$。
• 路径 $P_n$ 的中心图在总支配色染色中所需的颜色类数量比原路径的顶点数多一个。
• 环 $C_n$ 的中心图以与原环顶点数相同的颜色数达到其总支配色数。
• 研究结果表明，中心图保留了使 $χ_d^t(G)$ 能够基于原图阶数与连通性精确计算的结构特性。
• 本研究证实，中心图中的总支配色染色完全由其底层图的结构决定，尤其对于路径与环而言。