[论文解读] Total Variation and Variational Symplectic-Energy-Momentum integrators

Jing‐Bo Chen, Han-Ying Guo+1 more|ArXiv.org|Sep 23, 2001

Numerical methods for differential equations参考文献 19被引用 7

一句话总结

本文提出了一种具有可变时间步长的离散全变分微分学，将李氏离散力学推广至变步长形式，以推导出具有变分结构的辛-能量-动量积分器。通过构建一个保持辛结构与离散能量的离散变分原理，作者将李氏的能量保持方法与凯恩-马尔德恩-奥尔蒂斯的变分辛-能量-动量积分器统一起来，证明所得到的积分器具有辛性、能量守恒性，并在连续极限下收敛于连续的欧拉-拉格朗日方程。

ABSTRACT

A discrete total variation calculus with variable time steps is presented in this letter. Using this discrete variation calculus, we generalize Lee's discrete mechanics and derive variational symplectic-energy-momentum integrators by Kane, Marsden and Ortiz. The relationship among discrete total variation, Lee's discrete mechanics and Kane-Marsden-Ortiz's integrators is explored.

研究动机与目标

• 开发一种包含可变时间步长的离散全变分微分学，将李氏离散力学从固定步长形式扩展至更一般情形。
• 通过统一的变分框架，将李氏的能量保持离散力学与凯恩-马尔德恩-奥尔蒂斯的变分辛-能量-动量积分器相统一。
• 建立一个离散变分原理，确保在保守机械系统数值积分中同时满足辛性与精确能量守恒。
• 证明所得到的积分器具有正确的连续极限，并保持连续拉格朗日力学中的关键几何结构。

提出的方法

• 将时间步长视为动力学变量，形式化一种离散全变分微分学，从而实现对位置与时间间隔的联合变分。
• 从应用于可变时间步长离散拉格朗日量的变分原理出发，推导出离散欧拉-拉格朗日方程。
• 引入离散扩展拉格朗日一形式及其外微分，以定义离散辛二形式，确保积分器的辛性。
• 基于变分原理施加离散能量守恒条件，导出能精确保持能量的时间步长调整机制。
• 证明当时间步长固定时，所得积分器退化为凯恩-马尔德恩-奥尔蒂斯的辛-能量-动量积分器，并在时间步长趋于零的极限下收敛于连续欧拉-拉格朗日方程。
• 证明离散辛二形式在时间步长趋于零的极限下收敛于连续辛形式，从而确认其几何一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构建一种包含可变时间步长的离散全变分微分学，同时保持连续力学的几何结构？
• RQ2 李氏离散力学（具有可变时间步长的能量保持方法）与凯恩-马尔德恩-奥尔蒂斯的变分辛-能量-动量积分器之间存在何种关系？
• RQ3 能否构造一个变分原理，使其在离散机械系统中同时保证辛性与精确能量守恒？
• RQ4 离散辛二形式与离散能量守恒律如何从同一变分框架中自然导出？
• RQ5 所提出的离散积分器的连续极限是什么？其是否能恢复正确的连续动力学？

主要发现

• 所提出的具有可变时间步长的离散全变分微分学通过将辛性作为由变分原理导出的基本性质，推广了李氏离散力学。
• 所得积分器同时具备辛性与能量守恒性，精确满足离散辛二形式条件与离散能量守恒定律（3.21）。
• 离散能量守恒定律（3.21）直接由变分原理导出，而不同于凯恩-马尔德恩-奥尔蒂斯方法中人为施加的处理方式。
• 离散扩展拉格朗日一形式（3.23）及其外微分（即离散辛形式）在时间步长趋于零的极限下，收敛于其连续对应形式（2.15）与（2.16）。
• 离散欧拉-拉格朗日方程（3.19）在连续极限下退化为连续欧拉-拉格朗日方程（3.20），确认其与经典力学的一致性。
• 该方法统一了李氏的能量保持方法与凯恩-马尔德恩-奥尔蒂斯的变分积分器，表明当作为两点边值问题求解时，李氏差分方程与凯恩-马尔德恩-奥尔蒂斯的积分器等价。