[论文解读] Total variation distance between two diffusions in small time with unbounded drift: application to the Euler-Maruyama scheme

Pierre Bras, Gilles Pagès+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2021

Stochastic processes and financial applications参考文献 5被引用 1

一句话总结

本文在小时间内建立了两个系数相近的 Itô 扩散过程之间的总变差（TV）距离的精确界限，特别针对 Euler-Maruyama 格式。通过多步 Richardson-Romberg 外推法和 Aronson 对转移密度的估计，证明当扩散系数为 $ C_b^{2r} $ 且漂移项为 $ C^1 $ 且导数有界时，TV 距离的阶为 $ t^{r/(2r+1)} $ —— 这一结果优于经典的 $ t^{1/2} $ 速率。一个反例表明，即使漂移项有界，$ t^{1/2} $ 速率在一般情况下也是最优的。

ABSTRACT

We give bounds for the total variation distance between the solutions to two stochastic differential equations starting at the same point and with close coefficients, which applies in particular to the distance between an exact solution and its Euler-Maruyama scheme in small time. We show that for small $t$, the total variation distance is of order $t^{r/(2r+1)}$ if the noise coefficient $\sigma$ of the SDE is elliptic and $\mathcal{C}^{2r}_b$, $r\in \mathbb{N}$ and if the drift is $C^1$ with bounded derivatives, using multi-step Richardson-Romberg extrapolation. We do not require the drift to be bounded. Then we prove with a counterexample that we cannot achieve a bound better than $t^{1/2}$ in general.

研究动机与目标

• 推导两个系数相近的 Itô 扩散过程在小时间内总变差距离的非渐近界限。
• 分析 Euler-Maruyama 格式在总变差意义下的收敛速率，尤其关注漂移项无界的情形。
• 证明在一般设定下 $ t^{1/2} $ 收敛速率的最优性。
• 通过外推技术将现有结果扩展至无界漂移和常数扩散系数之外的情形。

提出的方法

• 应用多步 Richardson-Romberg 外推法，以提升 SDE 近似在总变差意义下的收敛速率。
• 利用 Aronson 对转移密度核的估计，控制扩散过程分布的正则性。
• 采用受 Malliavin 微积分启发的分部积分技巧，以控制 TV 距离中密度导数的界。
• 通过构造高阶系数趋于零的泰勒展开，构建外推方案。
• 依赖 Girsanov 类似论证及对转移密度的比较，以控制 TV 距离。
• 通过几何布朗运动构造反例，证明 $ t^{1/2} $ 速率是紧的。

实验结果

研究问题

• RQ1 在小时间内，SDE 与其 Euler-Maruyama 格式之间的总变差收敛最优速率是什么？
• RQ2 当扩散系数光滑且漂移项无界时，能否将收敛速率提升至超过 $ t^{1/2} $？
• RQ3 即使漂移项有界，$ t^{1/2} $ 速率在一般情况下是否仍为紧的？
• RQ4 Richardson-Romberg 外推法如何改进具有无界漂移的 SDE 的 TV 收敛速率？
• RQ5 扩散系数的椭圆性与光滑性在 TV 收敛中起什么作用？

主要发现

• 当扩散系数为 $ C_b^{2r} $ 且漂移项为 $ C^1 $ 且导数有界时，两个系数相近的扩散过程之间的总变差距离被控制在 $ C t^{r/(2r+1)} $ 以内。
• 当 $ r \to \infty $ 时，收敛速率趋近于 $ t^{1/2} \exp(C \sqrt{\log(1/t)}) $，即几乎为 $ t^{1/2} $。
• 通过几何布朗运动构造的反例表明，$ t^{1/2} $ 速率是紧的，且在一般情况下无法进一步改进。
• 对于 $ C_b^2 $ 扩散系数和 $ C^1 $ 漂移项，该方法实现了 $ t^{1/3} $ 的收敛速率，优于经典的 $ t^{1/2} $ 界。
• 该界在漂移项无界时依然成立，这是对先前文献的重要扩展。
• TV 距离主要受扩散系数行为的主导，而非漂移项的差异，这解释了在光滑性条件下收敛速率得以提升的原因。