[论文解读] Total variation minimization for stable multidimensional signal recovery

Deanna Needell, Rachel Ward|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2012

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 30被引用 6

一句话总结

本文为使用总变差（TV）最小化进行多维信号恢复建立了理论重建保证，表明 O(sd log(N^d)) 个线性测量值足以在最佳 s 项梯度逼近的常数因子内重建信号。结果将先前针对二维 TV 的保证推广至任意维度 d ≥ 2，证明了在对数和多项式因子范围内近乎最优。

ABSTRACT

Consider the problem of reconstructing a multidimensional signal from partial information. Without any additional assumptions, this problem is ill-posed. However, for signals such as natural images or movies, the minimal total variation estimate consistent with the measurements often produces a good approximation to the underlying signal, even if the number of measurements is far smaller than the ambient dimensionality. While reconstruction guarantees and optimal measurement designs have been established for related l1-minimization problems, the theory for total variation minimization has remained elusive until recently, when guarantees for two-dimensional images x ∈ C N 2 were established. This paper extends the recent theoretical results to signals x ∈ C N d of arbitrary dimension d ≥ 2. To be precise, we show that a multidimensional signal x ∈ C N d can be reconstructed from O(sdlog(N d )) linear measurements y = Ax using total variation minimization to within a factor of the best s-term approximation of its gradient. The reconstruction guarantees we provide are necessarily optimal up to polynomial factors in the spatial dimension d and a logarithmic factor in the signal dimension N d . The proof relies on bounds in approximation theory concerning the compressibility of wavelet expansions of bounded-variation functions.

研究动机与目标

• 将总变差最小化在二维信号中的理论重建保证推广至任意维度的信号（d ≥ 2）。
• 建立 O(sd log(N^d)) 个线性测量值足以通过 TV 最小化实现多维信号稳定恢复的理论依据。
• 证明重建误差被限制在信号梯度最佳 s 项逼近的常数因子之内。
• 证明所推导的边界在信号维度和空间维度上，仅相差对数和多项式因子，具有最优性。

提出的方法

• 该方法依赖于有界变差函数的小波展开的逼近理论边界，以分析梯度的可压缩性。
• 证明在 C^N^d 中的多维信号梯度可用小波基中的 s 项良好逼近。
• 通过集中与熵论证来界定实现稳定恢复所需的测量数量。
• 应用压缩感知与框架理论的结果，将测量复杂度与梯度的稀疏性联系起来。
• 分析考虑了空间维度 d 和信号维度 N^d，表明测量复杂度随 sd log(N^d) 变化。
• 利用有界变差函数熵的已知边界，推导出最优测量速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将总变差最小化在二维信号中的理论重建保证推广至任意维度的信号（d ≥ 2）？
• RQ2 通过 TV 最小化稳定恢复多维信号所需的最少线性测量数量是多少？
• RQ3 在高维空间中，重建误差与信号梯度最佳 s 项逼近之间的关系如何？
• RQ4 在 d 和 N^d 上，所推导的测量边界是否仅相差对数和多项式因子，具有最优性？

主要发现

• 本文证明，通过总变差最小化，O(sd log(N^d)) 个线性测量值足以实现对 d 维信号 x ∈ C^N^d 的稳定恢复。
• 重建误差被限制在信号 x 的梯度最佳 s 项逼近的常数因子之内。
• 测量复杂度在 N^d 的对数因子和 d 的多项式因子范围内最优。
• 结果将先前针对二维信号的保证推广至任意维度 d ≥ 2，为多维 TV 恢复建立了理论基础。
• 分析基于小波逼近理论，表明有界变差函数的梯度在小波基中具有可压缩性。
• 所推导的边界是紧致的，即在相同假设下，无法通过显著更少的测量数量实现类似保证。