[论文解读] Total Vertex Irregularity Strength of Forests

Marcin Anholcer, Micha L Karo+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2011

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文确定了不含度为2的顶点或孤立顶点的森林的精确总顶点不规则性强度（tvs），证明了 tvs(F) = ⌈(n₁ + 1)/2⌉，其中 n₁ 为叶顶点的数量。作者通过使用标签 1 到 s 的标签构造方法，确保所有顶点具有不同的加权度，利用基于顶点度数和叶邻居数量的结构化边与顶点标签策略。

ABSTRACT

We investigate a graph parameter called the total vertex irregularity strength ($tvs(G)$), i.e. the minimal $s$ such that there is a labeling $w: E(G)\cup V(G) ightarrow \{1,2,..,s\}$ of the edges and vertices of $G$ giving distinct weighted degrees $wt_G(v):=w(v)+\sum_{v\in e \in E(G)}w(e)$ for every pair of vertices of $G$. We prove that $tvs(F)=\lceil (n_1+1)/2 ceil$ for every forest $F$ with no vertices of degree 2 and no isolated vertices, where $n_1$ is the number of pendant vertices in $F$. Stronger results for trees were recently proved by Nurdin et al.

研究动机与目标

• 确定不含度为2的顶点且无孤立顶点的森林的总顶点不规则性强度（tvs）的确切值。
• 将树的已知界限扩展到更一般的森林情况，包括非树森林。
• 提供一种构造性标签方法，仅使用标签 {1, 2, ..., s} 实现最小可能的 tvs，其中 s = ⌈(n₁ + 1)/2⌉。
• 证明此类森林的平凡下界在 tvs 上是紧的，从而填补先前研究中的空白。

提出的方法

• 将标签 s 分配给所有非叶边，以标准化高权重贡献。
• 使用对称序列 S = (1, s−1, 2, s−2, ...) 标记叶边，以控制加权度的多样性。
• 对于有 j 个叶邻居的顶点（j ≥ 1），根据奇偶性，将 j/2 或 (j±1)/2 条叶边标记为 s，以在不超过总和 s 的前提下最大化 s 标签的使用。
• 使用贪心的顶点标签法分配权重 w(v)，使得所有顶点的总加权度 wt(v) = w(v) + 与之关联的边权重之和互不相同。
• 将不同度类（C_{kj}）中的顶点分别处理在不同的加权度范围：[2, 2s]、[2s+2, 3s]、[3s+1, 4s] 和 ≥4s+1。
• 利用度数约束（例如，n₁ = 2 + Σ(j−2)n_j，其中 j ≥ 3）来限制顶点数量，确保具有足够标签空间以实现不同的加权度。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于不含度为2的顶点且无孤立顶点的森林，其总顶点不规则性强度（tvs）的确切值是多少？
• RQ2 下界 tvs(F) ≥ ⌈(n₁ + 1)/2⌉ 是否可实现为该类森林的确切值？
• RQ3 用于树的标签策略是否可推广至一般森林？若可，需如何调整？
• RQ4 如何在不同的加权度范围内贪心地分配顶点权重，以确保所有顶点具有不同的总权重？
• RQ5 对顶点度数的哪些结构约束（如 n₃₀, n₄₃, n₄₄）可确保具有足够标签空间以实现不同的加权度？

主要发现

• 任何不含度为2的顶点且无孤立顶点的森林 F 的总顶点不规则性强度恰好为 tvs(F) = ⌈(n₁ + 1)/2⌉。
• 下界 tvs(F) ≥ ⌈(n₁ + 1)/2⌉ 是紧的，且可通过构造性标签方法实现。
• 该标签策略仅使用 {1, 2, ..., s} 中的标签，其中 s = ⌈(n₁ + 1)/2⌉，并确保所有顶点具有不同的加权度。
• 属于 C_{1} 的顶点（叶顶点）的加权度位于 [2, 2s] 范围内，而其他所有顶点的加权度均 ≥ 2s + 2。
• 通过利用度数约束限制顶点数量，该方法在每个加权度范围（如 [3s+1, 4s]）内保证了足够的标签空间。
• 该结果可推广至最多含一个度为2的顶点的森林，如推广定理1所示，此时 tvs(F) 仍为 ⌈(n₁ + 1)/2⌉。