[论文解读] Total weight choosability of d-degenerate graphs

Tsai–Lien Wong, Xuding Zhu|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2015

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文利用涉及永久式与素数阶域的代数方法，建立了 d-退化图中总权重可选择性的新结果。证明了当 d+1 为素数时，若图非二分图或满足稀疏顶点度条件，则 d-退化图是 (1,k)-可选择的（k > d 且为素数），且当 d+1 为素数时，d-退化图是 (d,2)-可选择的；结果应用于平面图与平均度有界的图类。

ABSTRACT

A graph $G$ is $(k,k')$-choosable if the following holds: For any list assignment $L$ which assigns to each vertex $v$ a set $L(v)$ of $k$ real numbers, and assigns to each edge $e$ a set $L(e)$ of $k'$ real numbers, there is a total weighting $ϕ: V(G) \cup E(G) o R$ such that $ϕ(z) \in L(z)$ for $z \in V \cup E$, and $\sum_{e \in E(u)}ϕ(e)+ϕ(u) e \sum_{e \in E(v)}ϕ(e)+ϕ(v)$ for every edge $uv$. This paper proves the following results: (1) If $G$ is a connected $d$-degenerate graph, and $k>d$ is a prime number, and $G$ is either non-bipartite or has two non-adjacent vertices $u,v$ with $d(u)+d(v) < k$, then $G$ is $(1,k)$-choosable. As a consequence, every planar graph with no isolated edges is $(1,7)$-choosable, and every connected $2$-degenerate non-bipartite graph other than $K_2$ is $(1,3)$-choosable. (2) If $d+1$ is a prime number, $v_1, v_2, \ldots, v_n$ is an ordering of the vertices of $G$ such that each vertex $v_i$ has back degree $d^-(v_i) \le d$, then there is a graph $G'$ obtained from $G$ by adding at most $d-d^-(v_i)$ leaf neighbours to $v_i$ (for each $i$) and $G'$ is $(1,2)$-choosable. (3) If $G$ is $d$-degenerate and $d+1$ a prime, then $G$ is $(d,2)$-choosable. In particular, $2$-degenerate graphs are $(2,2)$-choosable. (4) Every graph is $(\lceil\frac{{ m mad}(G)}{2} ceil+1, 2)$ -choosable. In particular, planar graphs are $(4,2)$-choosable, planar bipartite graphs are $(3,2)$-choosable.

研究动机与目标

• 确定 d-退化图在何种条件下可实现小列表大小的总权重可选择性。
• 解决关于稀疏图类的 (1,k)-与 (k,2)-可选择性问题的开放疑问。
• 通过代数技术将 1-2-3 与 1-2 猜想推广至列表加权设置。
• 利用最大平均度与退化性，提供可选择性参数的紧致界。

提出的方法

• 基于素数阶有限域上关联矩阵的永久式，使用代数方法。
• 应用指标函数与列运算，操控与图结构相关的矩阵。
• 采用基于定向的构造方法，确保模素数下永久式值非奇异。
• 引入具有有界反向度的顶点排序，构建具有所需可选择性的辅助图。
• 利用如下事实：若 mad(G) ≤ 2k，则 G 存在最大出度 ≤ k 的定向。
• 将问题归约为证明模素数下永久式非零，从而确保列表赋值可解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，d-退化图是 (1,k)-可选择的（k > d 且为素数）？
• RQ2 当 d+1 为素数时，能否证明 d-退化图的 (d,2)-可选择性？
• RQ3 最大平均度与 (k,2)-可选择性之间有何关系？
• RQ4 如何利用添加叶子的辅助图来传递可选择性性质？
• RQ5 1-2-3 与 1-2 猜想能否推广至稀疏图的列表加权设置？

主要发现

• 每个连通 d-退化图，若 k > d 且为素数，且图非二分图，或存在两个不相邻顶点满足 d(u)+d(v) < k，则为 (1,k)-可选择的。
• 任意不含孤立边的平面图均为 (1,7)-可选择的；任意连通 2-退化非二分图（≠K₂）均为 (1,3)-可选择的。
• 若 d+1 为素数且 G 为 d-退化图，则 G 为 (d,2)-可选择的；特别地，2-退化图为 (2,2)-可选择的。
• 对任意 d-退化图 G，若 d+1 为素数，则存在一个超图 G'，通过在每个顶点 vᵢ 上添加至多 d−d⁻(vᵢ) 个叶子得到，使得 G' 为 (1,2)-可选择的。
• 每个图 G 均为 (⌈mad(G)/2⌉+1, 2)-可选择的；特别地，平面图为 (4,2)-可选择的，平面二分图为 (3,2)-可选择的。
• 证明依赖于：在 ℤ_{d+1} 上构造的合适矩阵的永久式非零，从而确保存在来自给定列表的合适总权重赋值。