[论文解读] Totally Asymmetric Torsion on Riemann-Cartan Manifold

Yuyiu Lam|ArXiv.org|Nov 2, 2002

Advanced Differential Geometry Research参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文提出了一种在黎曼-嘉当流形上的相对论性理论，其中挠率完全反对称，自然地源于局部惯性系中仿射联络对称部分的消失。该理论确保了测地线与测地线的重合，从而从挠率结构中自然涌现出一个标量场 $φ$，通过类似共形的项修改爱因斯坦张量，得到一个与 $ω = 0$ 时的布兰斯-狄克引力理论共形相关的理论。

ABSTRACT

A relativistic theory constructed on Riemann-Cartan manifold with a derived totally antisymmetric torsion is proposed. It follows the coincidence of the autoparallel curve and metric geodesic. The totally antisymmetric torsion naturally appears in the theory without any ad hoc imposed on.

研究动机与目标

• 为爱因斯坦-嘉当理论中测地线与测地线之间的差异（G-A问题）提供解决方案，通过强制要求挠率完全反对称。
• 证明在正常坐标系中，仿射联络对称部分的消失自然导致挠率完全反对称，无需人为假设。
• 推导出一个场方程，其中完全反对称的挠率导致一个标量场 $φ$，该场与引力耦合但不与物质在变分原理中耦合。
• 建立该理论与 $ω = 0$ 时的布兰斯-狄克理论在真空中共形等价的关系，为量子引力开辟新途径。

提出的方法

• 在 $U_4$ 流形中某一点 $p$ 周围使用正常（高斯）坐标，证明仿射联络的对称部分消失，从而得出 $\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}(0) = 0$。
• 应用指数映射与测地线结构，推导出在 $p$ 点有 $\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu} + \Gamma^{\lambda}_{\nu\mu} = 0$，从而得出 $S^{\lambda}_{\mu\nu} = S^{\lambda}_{[\mu\nu]}$。
• 利用正交标架下的卡坦结构方程，将挠率一形式表示为 $\Theta^\lambda = \frac{1}{2} S_{\mu\nu}^\lambda \theta^\mu \wedge \theta^\nu$，曲率表示为 $\Omega^\mu_\nu = \frac{1}{2} R^\mu_{\nu\lambda\gamma}(\Gamma) \theta^\lambda \wedge \theta^\gamma$，从而将挠率与曲率联系起来。
• 以标准里奇张量和标量场 $\phi$ 表示里奇标量 $R(\Gamma)$，得出 $R_{\mu\nu}(\Gamma) = R_{\mu\nu} + 2(g_{\mu\nu} \partial_\lambda \phi \partial^\lambda \phi - \partial_\mu \phi \partial_\nu \phi)$。
• 应用哈密顿原理于真空作用量 $\int R(\Gamma) \sqrt{-g} \, d^4x$，变分度规并导出场方程 $G_{\mu\nu} = -6(\partial_\mu \phi \partial_\nu \phi - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} \partial_\alpha \phi \partial^\alpha \phi)$。
• 施加条件 $\partial_\lambda \partial^\lambda \phi = 0$ 以简化边界项，并确保变分中散度项消失。

实验结果

研究问题

• RQ1 完全反对称的挠率能否自然地从黎曼-嘉当流形的几何结构中出现，而无需外部强制？
• RQ2 在正常坐标系中，仿射联络对称部分的消失是否意味着挠率必须完全反对称？
• RQ3 由此产生的标量场 $\phi$ 在真空中如何影响引力场方程？
• RQ4 该理论与布兰斯-狄克理论之间存在何种共形关系，特别是在 $\omega = 0$ 的极限下？
• RQ5 标量场 $\phi$ 能否在变分原理中不与物质耦合的情况下，从挠率张量中一致地推导出来？

主要发现

• 完全反对称的挠率 $S_{\lambda\mu\nu} = S_{[\lambda\mu\nu]}$ 自然地从正常坐标系中仿射联络对称部分的消失中产生，无需人为假设。
• 测地线与测地线的重合得以实现，因为 $\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu} = \{\}_{\mu}^{\lambda}_{\nu} + S_{\mu\nu}^{\lambda}$，且 $S^{\lambda}_{\mu\nu} = S^{\lambda}_{[\mu\nu]}$，这意味着在 $p$ 点有 $\Gamma^{\lambda}_{(\mu\nu)} = 0$。
• 标量场 $\phi$ 从挠率结构中自然涌现，并以 $R_{\mu\nu}(\Gamma) = R_{\mu\nu} + 2(g_{\mu\nu} \partial_\lambda \phi \partial^\lambda \phi - \partial_\mu \phi \partial_\nu \phi)$ 的形式出现在里奇张量中。
• 真空场方程为 $G_{\mu\nu} = -6(\partial_\mu \phi \partial_\nu \phi - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} \partial_\alpha \phi \partial^\alpha \phi)$，表明其与引力具有负号的共形耦合。
• 该理论在真空中与 $\omega = 0$ 时的布兰斯-狄克理论共形等价，因为标量场 $\phi$ 的耦合强度与 $\omega = 0$ 的极限相匹配。
• 标量场 $\phi$ 在变分原理中不与物质耦合，与测试粒子沿测地线运动一致，且当 $P^\lambda = 0$ 且 $T^{[\mu\nu]} = 0$ 时，该理论退化为标准广义相对论。