[论文解读] Toward a General Theory of Motion Planning Complexity: Characterizing Which Gadgets Make Games Hard

Erik D. Demaine, Dylan Hendrickson+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2018

Logic, Reasoning, and Knowledge被引用 4

一句话总结

本文通过分析特定‘装置’——即控制机器人遍历的状态改变组件——对计算难度的影响，为游戏和机器人学中的运动规划建立了一般性的复杂性理论。它根据装置类型，全面刻画了一名玩家和两名玩家运动规划问题的复杂性，表明某些装置（例如，锁定型双态开关、单向隧道）足以使问题达到NP完全、PSPACE完全甚至不可判定的程度，从而提供了一个统一的框架，以简化并推广先前的难解性证明。

ABSTRACT

We build a general theory for characterizing the computational complexity of motion planning of robot(s) through a graph of "gadgets", where each gadget has its own state defining a set of allowed traversals which in turn modify the gadget's state. We study two families of such gadgets, one which naturally leads to motion planning problems with polynomially bounded solutions, and another which leads to polynomially unbounded (potentially exponential) solutions. We also study a range of competitive game-theoretic scenarios, from one player controlling one robot to teams of players each controlling their own robot and racing to achieve their team's goal. Under small restrictions on these gadgets, we fully characterize the complexity of bounded 1-player motion planning (NL vs. NP-complete), unbounded 1-player motion planning (NL vs. PSPACE-complete), and bounded 2-player motion planning (P vs. PSPACE-complete), and we partially characterize the complexity of unbounded 2-player motion planning (P vs. EXPTIME-complete), bounded 2-team motion planning (P vs. NEXPTIME-complete), and unbounded 2-team motion planning (P vs. undecidable). These results can be seen as an alternative to Constraint Logic (which has already proved useful as a basis for hardness reductions), providing a wide variety of agent-based gadgets, any one of which suffices to prove a problem hard.

研究动机与目标

• 开发一个一般性理论，以表征哪些装置会使运动规划问题在计算上变得困难。
• 根据装置类型，对单人和双人运动规划的复杂性进行分类，包括移动次数有界和无界的场景。
• 提供一个框架，以推广并简化游戏和机器人学中现有的难解性证明。
• 识别出足以在各种游戏类型和复杂性类中证明难解性的最小装置集合。
• 探讨平面装置系统与非平面装置系统是否会产生不同的复杂性。

提出的方法

• 将运动规划建模为机器人通过具有状态的装置图的遍历过程，其中每次遍历都会改变装置的状态及后续的遍历规则。
• 定义两类主要装置族：DAG装置（解的长度有多项式界）和可逆确定性装置（解的长度可能呈指数级）。
• 通过从已知难解问题（例如，3SAT、QSAT、平面运动规划）进行归约，证明特定装置配置下的难解性。
• 在现有游戏中构建具体的装置实现（例如，PushPull-1F、Mario Kart），以展示其适用性并简化证明。
• 将该框架应用于证明在各种移动次数限制下，竞争性、团队合作及单智能体运动规划的复杂性结果。
• 基于装置属性，对复杂性类（NL、NP、PSPACE、EXPTIME、NEXPTIME、不可判定）进行完整或部分刻画。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些装置类型足以使单人运动规划达到NP完全或PSPACE完全的程度？
• RQ2 能否基于装置类型完全刻画双人及团队合作运动规划的复杂性？
• RQ3 可逆确定性装置是否会导致解的长度呈指数级增长，以及这如何影响复杂性？
• RQ4 装置的平面配置是否与非平面配置产生不同的复杂性？
• RQ5 该框架能否简化或替代Lemmings或Mario Kart等游戏中冗长的先前难解性证明？

主要发现

• 使用DAG装置的单人运动规划，其复杂性为NL或NP完全，具体取决于装置集合是否允许多项式有界解。
• 无界单人运动规划的复杂性为NL或PSPACE完全，后者出现在装置允许存在指数长度解路径时。
• 有界双人运动规划的复杂性为P或PSPACE完全，具体取决于是否存在特定可逆或单向装置。
• 无界双人运动规划的复杂性为P或EXPTIME完全，后者可通过特定装置配置实现。
• 有界双人团队运动规划的复杂性为P或NEXPTIME完全，而无界双人团队运动规划在某些装置集合下可能为不可判定。
• 该框架简化了先前的难解性证明：例如，Mario Kart双人模式的PSPACE难解性现在仅需一个简单装置构造即可推出，将原本长达数页的证明缩减为一段话。