[论文解读] Toward a Gravitation Theory in Berwald--Finsler Space

Xin Li, Zhe Chang|ArXiv.org|Nov 13, 2007

Advanced Differential Geometry Research参考文献 1被引用 6

一句话总结

该论文提出了一种基于Chern联络和Bianchi恒等式的Berwald-Finsler空间中的引力理论，推导出一个非对称的几何场方程，表明自发的局部洛伦兹对称性破缺。在Randers型Berwald空间中导出了非平凡解，包括一个具有常向量场的5D宇宙学模型，证明了Finsler几何作为广义相对论之外洛伦兹破缺引力理论的可行性。

ABSTRACT

Finsler geometry is a natural and fundamental generalization of Riemann geometry. The Finsler structure depends on both coordinates and velocities. It is defined as a function on tangent bundle of a manifold. We use the Bianchi identities satisfied by Chern curvature to set up a gravitation theory in Berwald-Finsler space. The geometric part of the gravitational field equation is nonsymmetric in general. This indicates that the local Lorentz invariance is violated. Nontrivial solutions of the gravitational field equation are presented.

研究动机与目标

• 在Berwald-Finsler几何中构建引力场理论，作为广义相对论的推广。
• 研究Finsler时空中局部洛伦兹对称性破缺的含义。
• 在Berwald-Finsler空间中构造引力场方程的非平凡解，特别是Randers型几何中的解。
• 探讨Chern联络和曲率在构建超越黎曼几何的一致引力理论中的作用。

提出的方法

• 在Finsler流形上使用无挠的Chern联络，定义与Finsler度量相容的规范线性联络。
• 应用Chern曲率的一阶和二阶Bianchi恒等式，推导Berwald-Finsler空间中的场方程。
• 将引力场方程表示为 $ R_{jl} - \frac{1}{2}g_{jl}S + \left\{ \frac{1}{2}B^{k}_{kjl} + B^{k}_{jlk} \right\} = 8\pi G T_{jl} $，其中几何部分通常为非对称。
• 施加Berwald条件 $ P^i_{jkl} = 0 $，将曲率简化为$ hh $-部分，从而简化场方程。
• 在4D和5D的Berwald型Randers空间中构造显式解，使用Robertson-Walker度量和一个常1-形式 $ \tilde{b}_i $。
• 验证在Berwald空间中，测地喷射系数和Chern联络退化为底层黎曼度量 $ \tilde{a}_{ij} $ 的Levi-Civita联络。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用Chern联络和曲率在Berwald-Finsler几何中构建一致的引力场理论？
• RQ2 场方程中几何部分的非对称性对局部洛伦兹对称性有何影响？
• RQ3 能否在Berwald-Finsler空间中构造引力场方程的非平凡解，特别是在宇宙学设定下？
• RQ4 在Berwald型Randers空间中，场方程如何简化？向量场 $ \tilde{b}_i $ 在生成解中起什么作用？

主要发现

• 在Berwald-Finsler空间中，引力场方程的几何部分通常为非对称，表明自发地破坏了局部洛伦兹对称性。
• 场方程简化为 $ R^{i}_{jl} - \frac{1}{2}g^{i}_{l}S + \left\{ \frac{1}{2}B^{k}_{kjl} + B^{k}_{jlk} \right\} = 8\pi G T_{jl} $，其中能量-动量张量 $ T_{jl} $ 通常也不对称。
• 在Berwald型Randers空间中，测地喷射系数和Chern联络退化为底层黎曼度量 $ \tilde{a}_{ij} $ 的Levi-Civita联络，从而简化了动力学。
• 发现了一个非平凡的5D解，其中 $ \tilde{a}_{ij} = \text{diag}(1, -a^2(t)/(1-kr^2), -a^2(t)r^2, -a^2(t)r^2\sin^2\theta, 0) $ 且 $ \tilde{b}_i = \{0,0,0,0,c\} $，其中 $ c $ 为常数。
• 在Berwald型Randers空间中，条件 $ \tilde{b}_{i|j} = 0 $ 成立，确保与黎曼Christoffel符号相容。
• 在约束 $ \dot{a}^2 + k = 0 $ 下，4D中存在使用Robertson-Walker度量的解，表明该框架中存在一致的宇宙学模型。