[论文解读] Toward accurate polynomial evaluation in rounded arithmetic

James Demmel, Ioana Dumitriu+1 more|ArXiv.org|Aug 18, 2005

Numerical Methods and Algorithms参考文献 64被引用 11

一句话总结

该论文提出了一种决策程序，用于判断在舍入算术中（定义为相对误差小于1）是否能够使用基本运算和常数准确地计算多元多项式。该文建立了准确计算的必要与充分条件，尤其针对复数域上具有整数系数的齐次多项式，并证明了某些结构化矩阵（如多项式范德蒙德矩阵）即使在增加运算的情况下，其逆矩阵计算也无法准确进行，原因在于其子式中存在不可约的代数结构。

ABSTRACT

Given a multivariate real (or complex) polynomial $p$ and a domain $\cal D$, we would like to decide whether an algorithm exists to evaluate $p(x)$ accurately for all $x \in {\cal D}$ using rounded real (or complex) arithmetic. Here ``accurately'' means with relative error less than 1, i.e., with some correct leading digits. The answer depends on the model of rounded arithmetic: We assume that for any arithmetic operator $op(a,b)$, for example $a+b$ or $a \cdot b$, its computed value is $op(a,b) \cdot (1 + δ)$, where $| δ|$ is bounded by some constant $ε$ where $0 < ε\ll 1$, but $δ$ is otherwise arbitrary. This model is the traditional one used to analyze the accuracy of floating point algorithms.Our ultimate goal is to establish a decision procedure that, for any $p$ and $\cal D$, either exhibits an accurate algorithm or proves that none exists. In contrast to the case where numbers are stored and manipulated as finite bit strings (e.g., as floating point numbers or rational numbers) we show that some polynomials $p$ are impossible to evaluate accurately. The existence of an accurate algorithm will depend not just on $p$ and $\cal D$, but on which arithmetic operators and which constants are are available and whether branching is permitted. Toward this goal, we present necessary conditions on $p$ for it to be accurately evaluable on open real or complex domains ${\cal D}$. We also give sufficient conditions, and describe progress toward a complete decision procedure. We do present a complete decision procedure for homogeneous polynomials $p$ with integer coefficients, ${\cal D} = \C^n$, and using only the arithmetic operations $+$, $-$ and $\cdot$.

研究动机与目标

• 开发一种决策程序，以确定在舍入算术中是否存在相对误差小于1的准确算法来计算多元多项式 $ p(x) $。
• 识别在可用运算、常数和定义域的条件下，准确计算可能或不可能的代数与算术条件。
• 分析多项式结构（尤其是齐次性与不可约性）在决定准确计算可行性中的作用。
• 通过识别基本代数障碍，扩展先前关于结构化矩阵（如范德蒙德、柯西矩阵）准确线性代数算法的研究。
• 阐明为何某些矩阵计算（如逆矩阵、子式）即使在增加运算的情况下也无法准确计算，原因在于其底层多项式的代数结构。

提出的方法

• 将舍入算术建模为标准浮点模型，其中每次运算引入的相对误差被 $ \epsilon \ll 1 $ 限制，且 $ \delta $ 在该范围内任意取值。
• 使用代数几何分析多项式 $ p(x) $ 的代数簇，重点关注 $ p $ 的零点集在舍入误差下是否保持不变。
• 应用“可允许簇”的概念——即那些可使用基本算术运算和常数准确计算的簇。
• 对于复数域 $ \mathbb{C}^n $ 上具有整数系数的齐次多项式，基于项的主导性与非主导单项式的剪枝，推导出必要与充分条件。
• 通过将结构化矩阵（如多项式范德蒙德矩阵）的子式表示为多项式作为元素的矩阵的行列式，研究所得多项式的不可约性。
• 利用对称函数（如施雷夫函数）分解行列式表达式，并证明某些子式定义不可约多项式，从而排除准确计算的可能性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，对于多元多项式 $ p $ 和定义域 $ \mathcal{D} $，在舍入算术中存在相对误差小于1的准确计算算法？
• RQ2 对于复数域 $ \mathbb{C}^n $ 上具有整数系数的齐次多项式，是否可以仅使用 $ +, -, \cdot $ 运算，算法性地判断准确算法的存在性？
• RQ3 为何某些结构化矩阵（如多项式范德蒙德矩阵）即使在增加运算的情况下，其逆矩阵或子式也无法准确计算？
• RQ4 定义矩阵子式的多项式的不可约性在准确计算不可能性中起什么作用？
• RQ5 是否存在特定多项式类（如正交多项式），即使在一般限制下，其准确 SVD 或 EVD 计算仍可能实现？

主要发现

• 对于复数域 $ \mathbb{C}^n $ 上具有整数系数的齐次多项式，存在一个完整的决策程序，仅使用 $ +, -, \cdot $ 运算，基于项的主导性与单项式剪枝，可判断其是否可被准确计算。
• 即使增加运算，多项式范德蒙德矩阵的逆矩阵也无法在经典舍入算术中准确计算，因为其子式定义的多项式为不可约多项式，且其代数簇不可允许。
• 证明了多项式范德蒙德矩阵子式的行列式可表示为施雷夫函数的线性组合，且当 $ n \geq 4 $ 时，该表达式定义了一个具有次数 $ k \geq 2 $ 的不可约因子的多项式，因此无法准确计算。
• 多项式范德蒙德矩阵的 LDU 分解也无法准确计算，因为 L 因子继承了标准范德蒙德情形下的相同不准确性。
• 对于正交多项式等特殊多项式类，准确 SVD 甚至可能实现对称 EVD，表明多项式结构可在一般不可能性背景下仍支持准确计算。
• 本文证明，对于某些结构化矩阵，即使增加任意可枚举的有界次数黑箱运算集合，其逆矩阵的准确计算仍不可能，原因在于其底层多项式的代数性质。