[论文解读] Toward computing sensitivities of average quantities in turbulent flows

Nisha Chandramoorthy, Zhong-Nan Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2019

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 10被引用 6

一句话总结

该论文提出空间分割敏感性（S3）算法，用于计算混沌湍流流场中统计平均值的敏感性，传统伴随方法在此类问题中失效。通过将稳定与不稳定贡献分离，并结合Koopman切线解的遍历平均，S3实现了可证明收敛、计算高效的敏感性分析，其结果与低维混沌映射中的有限差分结果高度一致。

ABSTRACT

Chaotic dynamical systems such as turbulent flows are characterized by an exponential divergence of infinitesimal perturbations to initial conditions. Therefore, conventional adjoint/tangent sensitivity analysis methods that are successful with RANS simulations fail in the case of chaotic LES/DNS. In this work, we discuss the limitations of current approaches, including ensemble-based and shadowing-based sensitivity methods, that were proposed as alternatives to conventional sensitivity analysis. We propose a new alternative, called the space-split sensitivity (S3) algorithm, that is computationally efficient and addresses these limitations. In this work, the derivation of the S3 algorithm is presented in the special case where the system converges to a stationary distribution that can be expressed with a probability density function everywhere in phase-space. Numerical examples of low-dimensional chaotic maps are discussed where S3 computation shows good agreement with finite-difference results, indicating potential for the development of the method in more generality.

研究动机与目标

• 解决传统伴随法与切线法在计算大涡模拟/直接数值模拟等混沌流场中统计平均值敏感性时的失效问题。
• 克服基于集合的方法因不稳定性导致方差无界的局限，以及基于影子追踪的方法可能无法捕捉正确平均信息的缺陷。
• 开发一种计算高效、可证明收敛的敏感性分析方法，适用于具有统计平稳行为的混沌动力系统。
• 实现高保真湍流流场模拟（如气动声学与叶轮机械设计）中的基于梯度的优化与不确定性量化。

提出的方法

• 通过轨迹上的切线空间分解，将敏感性分解为稳定与不稳定贡献部分。
• 利用标准切线/伴随方程计算稳定部分，方法与非混沌系统一致。
• 通过分部积分与流动的遍历性，将不稳定贡献转换，避免使用不稳定的切线解。
• 采用Koopman切线方程的解，将不稳定贡献表示为单条轨迹上的遍历平均。
• 仅对稳定部分使用有限样本平均，而通过相空间遍历性对不稳定部分进行解析处理。
• 在假设存在光滑概率密度的简化条件下应用该方法，随后将其推广至具有SRB型测度的系统（如螺旋映射与Kuznetsov-Plykin映射）。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否开发一种敏感性方法，避免混沌系统中切线方程与伴随方程的病态条件？
• RQ2 如何在不依赖不稳定切线解的前提下计算敏感性的不稳定贡献？
• RQ3 不稳定贡献能否表示为在遍历性下收敛的有限样本平均？
• RQ4 S3算法在不变测度为奇异（如SRB测度）而非光滑的系统中是否仍能产生准确的敏感性结果？
• RQ5 S3能否在不依赖大规模集合的情况下，实现与有限差分方法相当的收敛性与精度？

主要发现

• S3算法产生的敏感性结果与在螺旋映射中使用100亿个蒙特卡洛样本在吸引子上计算的有限差分结果高度一致。
• 在螺旋映射中，S3准确捕捉了稳定与不稳定贡献，对$s_1$和$s_2$的扰动产生了正确的敏感性模式。
• 在Kuznetsov-Plykin映射中，S3的敏感性结果在$ heta$与$ ho$方向的节点基函数上与有限差分结果完全匹配，验证了该方法的鲁棒性。
• 该方法成功处理了具有非光滑不变测度（SRB型）的系统，表明其在光滑密度之外的更广泛应用潜力。
• 该算法避免了基于集合方法的不稳定性与高方差，也规避了影子追踪方法对轨迹的依赖，提供了一种稳定且高效的替代方案。
• 利用Koopman切线解使不稳定贡献得以解析处理，使该方法在高维流场中具备计算可行性。