[论文解读] Toward the mechanics of fractal materials: mechanics of continuum with fractal metric

Alexander S. Balankin|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2014

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 139被引用 6

一句话总结

本文通过在非均质介质的运动学和应力分析中引入分形度量，建立了一个用于分形材料的连续介质力学框架。该框架确立了分形连续体中柯西应力张量的对称性，推导出弹性分形杆中的应力与应变分布，并揭示了分形微观结构相关性可因分形域的度量与拓扑特性之间的相互作用，而延迟或促进裂纹扩展。

ABSTRACT

This paper is devoted to the mechanics of fractal materials. A continuum framework accounting for the topological and metric properties of fractal domains in heterogeneous media is developed. The kinematics of deformations is elucidated and the symmetry of the Cauchy stress tensor is established. The mapping of mechanical problems for fractal materials into the corresponding problems for the fractal continuum is discussed. Stress and strain distributions in elastic fractal bars are analyzed. Some features of acoustic wave propagation and localization in scale-invariant media are briefly discussed. The effect of fractal correlations in the material microstructure on the crack mechanics is revealed. It is shown that the fractal nature of heterogeneity can either delay or assist the crack initiation and propagation, depending on the interplay between metric and topological properties of the fractal domain.

研究动机与目标

• 建立一个能够考虑非均质材料中分形域的拓扑与度量特性的连续介质力学框架。
• 发展具有分形微观结构材料的变形运动学描述。
• 研究分形几何如何影响弹性介质中应力分布、波传播及裂纹力学。
• 将分形材料中的力学问题映射为具有非欧几里得度量的分形连续体中的等效问题。
• 确定分形微观结构相关性在何种条件下抑制或促进裂纹萌生与扩展。

提出的方法

• 引入分形度量以描述具有自相似、尺度不变结构的非均质介质的几何特性。
• 通过推广经典应变与位移场，推导出具有分形维数的连续体中的变形运动学。
• 通过变分原理与几何一致性，确立分形连续体中柯西应力张量的对称性。
• 将该框架应用于分析具有非整数维数的分形杆中的弹性应力与应变分布。
• 利用由分形度量导出的修正波动方程，研究尺度不变介质中的声波传播。
• 通过在微观结构中引入分形相关性，结合基于能量的裂纹萌生与扩展准则，分析裂纹力学。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将变形运动学推广至具有分形几何与非整数维度的连续体？
• RQ2 分形度量在确保非均质材料中柯西应力张量对称性方面起什么作用？
• RQ3 弹性分形杆中的应力与应变分布与经典连续体有何不同？
• RQ4 微观结构中的分形相关性如何影响裂纹扩展动力学？
• RQ5 具有分形度量特性的介质中，波的局域化与传播行为如何变化？

主要发现

• 柯西应力张量在分形连续体中仍保持对称，尽管具有非欧几里得几何，但基本机械对称性得以保留。
• 弹性分形杆中的应力与应变分布表现出非均匀、尺度不变的模式，这是由于分形度量的存在，与经典线弹性理论存在偏差。
• 在尺度不变介质中，声波传播表现出受分形维数与度量结构影响的局域化效应。
• 分形微观结构相关性可因分形域的度量与拓扑特性之间的平衡，而延迟或加速裂纹扩展。
• 所提出的框架可将真实分形材料中的力学问题映射为在定义明确的分形连续体中的等效问题。
• 该模型揭示了非均质性的分形本质从根本上改变了脆性材料中能量释放与裂纹路径选择的行为。