[论文解读] Towards a Church-Turing-Thesis for Infinitary Computations

Merlin Carl|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2013

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文通过形式化理想化代理机（IAMs）对超限计算的直观概念，提出了一个无穷版邱奇-图灵论题（ICTT），并证明IAMs在计算能力上与序数图灵机（OTMs）等价。关键结果表明，IAMs捕获了与OTMs相同的序数可计算函数类，支持了超限可计算性具有独立于形式机器模型的直观基础，其根基在于关于理想化代理的数学推理。

ABSTRACT

We consider the question whether there is an infinitary analogue of the Church-Turing-thesis. To this end, we argue that there is an intuitive notion of transfinite computability and build a canonical model, called Idealized Agent Machines ($IAM$s) of this which will turn out to be equivalent in strength to the Ordinal Turing Machines defined by P. Koepke.

研究动机与目标

• 探究是否存在一种类比经典邱奇-图灵论题的、关于超限可计算性的直观、自然的概念。
• 通过基于理想化代理执行无限过程的计算模型，形式化这一直观概念。
• 证明由此产生的模型——理想化代理机（IAMs）——所捕获的序数可计算函数类，与OTMs和ORMs等既有的超限模型一致。
• 论证OTM、ORM和IAM等不同超限机器模型之间的等价性，支持一个连贯的、基础性的超限可计算性概念。
• 提出一个基于数学实践与理想化推理的无穷版邱奇-图灵论题（ICTT）候选。

提出的方法

• 提出一种名为理想化代理机（IAMs）的计算形式模型，其哲学基础是理想化代理执行无限、规则驱动的过程。
• 将IAM的行为建模为由序数索引的状态序列，其中状态转移由确定性程序定义，并使用有界真值谓词在极限阶段评估公式。
• 利用构造性宇宙 $L$ 中的可定义性来刻画IAMs的计算能力，证明IAM可计算的序数集合恰好是 $L$ 中的集合。
• 通过使用 $L$-可定义函数和真值谓词编码状态序列与转移规则，证明IAMs可以模拟OTM的计算。
• 通过三磁带模拟技术证明反向等价性，其中一磁带用于存储状态序列，另一磁带用于计算。
• 利用Koepke的OTM理论中的已知结果，特别是：一个序数集合在有限多个参数下OTM可计算当且仅当它属于 $L$，从而建立IAMs与OTMs的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一种独立于形式机器模型的、自然的、直观的超限可计算性概念？
• RQ2 这一直观概念能否被形式化为一个精确的计算模型，使其捕获与现有超限模型相同的函数类？
• RQ3 不同的超限机器模型（如OTM、ORM、IAM）是否对序数产生相同的可计算函数类？
• RQ4 这些模型之间的等价性能否通过一种潜在的哲学或认知层面的理想化计算概念加以解释？
• RQ5 由此产生的模型是否支持一个连贯的无穷版邱奇-图灵论题（ICTT），类比于经典CTT？

主要发现

• 从有限多个序数参数出发，理想化代理机（IAMs）可计算的序数集合类，与构造性序数集合类完全一致。
• IAMs在计算能力上与序数图灵机（OTMs）等价：函数 $f: On \to On$ 是IAM可计算的，当且仅当它是无参数的OTM可计算的。
• IAMs的计算能力完全由构造性宇宙 $L$ 中的可定义性刻画，意味着IAM可计算的集合恰好是 $L$ 中的集合。
• 通过三磁带构造，IAMs可实现对OTM计算的模拟，该构造编码了状态序列，并使用真值谓词在极限阶段计算下一状态。
• IAMs与OTMs之间的等价性支持了超限可计算性存在一个自然、直观的概念，其根基在于关于理想化代理的数学推理。
• 本文提出一个无穷版邱奇-图灵论题（ICTT）的候选：一个函数 $f: On \to On$ 可被遵循确定规则的理想化代理计算，当且仅当它可被OTM计算。