[论文解读] Towards a complete cohomology invariant for non-locality and contextuality

Giovanni Carù|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2018

Quantum Mechanics and Applications参考文献 15被引用 9

一句话总结

本文提出了一种基于联合模型的新共形不变量，解决了上下文性检测中长期存在的假阳性问题，为广泛类别的经验模型（包括先前Čech上同调难以处理的模型）提供了完整且可计算的上同调障碍，适用于可能性和强上下文性。

ABSTRACT

The sheaf theoretic description of non-locality and contextuality by Abramsky and Brandenburger sets the ground for a topological study of these peculiar features of quantum mechanics. This viewpoint has been recently developed thanks to sheaf cohomology, which provides a sufficient condition for contextuality of empirical models in quantum mechanics and beyond. Subsequently, a number of studies proposed methods to detect contextuality based on different cohomology theories. However, none of these cohomological descriptions succeeds in giving a full invariant for contextuality applicable to concrete examples. In the present work, we introduce a cohomology invariant for possibilistic and strong contextuality which is applicable to the vast majority of empirical models.

研究动机与目标

• 解决在Čech上同调检测上下文性时长期存在的假阳性问题，特别是在Hardy模型等Čech上同调失效的模型中。
• 开发一种既是上下文性完全不变量又对实际经验模型具有实际可计算性的上同调不变量。
• 将层论上同调的应用范围扩展至现有方法的局限之外，特别是在非循环和非全对全（All-vs-Nothing）情形下。
• 建立一个框架，使上同调障碍能完全表征上下文性，消除上同调检测与实际上下文性之间的差距。
• 推测联合模型上同调是所有模型中上下文性的普遍不变量，基于对已知反例的实证验证。

提出的方法

• 通过将测量覆盖扩展至包含所有上下文对之间的交集，从原始经验模型构造出联合模型，形成新的上下文结构。
• 在此扩展覆盖上定义一个新的事件层，使能够在重叠的上下文中定义局部与全局截面。
• 引入一个在𝔽₂上的线性方程组，以编码重叠上下文之间截面的相容性条件，建模局部赋值的一致性。
• 对联合模型应用Čech上同调，推导出检测局部截面是否能一致地扩展为全局截面的上同调障碍。
• 利用Čech上同调中余边界映射的核来识别障碍：非平凡的上同调类表明存在上下文性。
• 采用计算代数求解相容性系统，并验证当使用联合模型时，假阳性现象消失。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种上同调不变量，使其在所有已知经验模型中完全检测上下文性且无假阳性？
• RQ2 联合模型构造是否消除了在Hardy模型等模型中困扰Čech上同调的上同调假阳性？
• RQ3 联合模型的上同调是否在所有可能性和强上下文性情形下均为上下文性的完全不变量？
• RQ4 该方法能否实际应用于非全对全或非循环模型，而这些模型中先前的上同调方法失效？
• RQ5 从联合模型导出的上同调障碍是否精确捕捉了非全局化模型中局部赋值的逻辑不一致？

主要发现

• 联合模型构造成功消除了所有已知的上下文性检测假阳性，包括在先前标准Čech上同调下失效的Hardy模型。
• 从联合模型导出的上同调障碍在PR盒子、GHZ、Peres-Mermin正方形及其他典型模型中正确识别了上下文性，无任何错误。
• 对于每一个在上下文性上不可扩展的局部截面，联合模型中的上同调障碍均为非平凡的，证实其作为完全不变量的作用。
• 从联合模型的相容性条件导出的𝔽₂上线性方程组仅在局部截面可全局扩展时有解，而当不可扩展时则产生矛盾。
• 该方法在非循环情形下有效检测了上下文性，而先前的上同调方法无法提供完整不变量。
• 作者提供了强有力的证据表明，联合模型的上同调是上下文性的普遍不变量，由此提出猜想：它能完全表征所有模型中的上下文性。