[论文解读] Towards a Complexity-through-Realisability Theory

Thomas Seiller|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2015

Logic, programming, and type systems参考文献 59被引用 11

一句话总结

本文提出了一种新颖的语义框架——可实现性理论下的复杂性（complexity-through-realisability theory），通过利用线性逻辑、算子代数和动力系统中的可实现性模型，统一了跨不同计算范式（如确定性、非确定性、概率性和并发计算）的计算复杂性研究。该框架通过图化模型（graphings）和Borel等价关系，对主要复杂性类（包括PTime、LogSpace及概率类）进行了表征，为解决复杂性理论中长期悬而未决的问题提供了新的数学工具。

ABSTRACT

We explain how recent developments in the fields of realisability models for linear logic -- or geometry of interaction -- and implicit computational complexity can lead to a new approach of implicit computational complexity. This semantic-based approach should apply uniformly to various computational paradigms, and enable the use of new mathematical methods and tools to attack problem in computational complexity. This paper provides the background, motivations and perspectives of this complexity-through-realisability theory to be developed, and illustrates it with recent results.

研究动机与目标

• 开发一个统一的、基于语义的计算复杂性框架，使其在诸如确定性、非确定性、概率性和并发计算等不同计算范式中具有统一适用性。
• 通过基于线性逻辑和成熟数学结构的可实现性模型，提供与机器无关的复杂性类表征。
• 使高级数学工具（尤其是算子代数和动力系统）能够应用于复杂性理论中的开放问题，如P与NP、P与LogSpace之间的关系。
• 为高阶泛函和目前缺乏坚实复杂性理论基础的计算模型建立复杂性理论的基础。
• 通过图化代数的分类，探索复杂性类的分类，将复杂性理论与深层代数不变量联系起来。

提出的方法

• 利用线性逻辑的可实现性模型，特别是基于图化模型和保测Borel映射的微观宇宙（microcosms），将类型解释为复杂性类。
• 通过图化代数的结构定义复杂性类，其中二元谓词的类型对应于多头自动机（单向、双向、确定性、非确定性、概率性）所接受的语言。
• 通过相关Borel等价关系的代价，表征复杂性类，如Regular、Stochastic、LogSpace、NLogSpace、coNLogSpace和PLogSpace。
• 通过构建自然捕捉高阶类型子类（如 (Words²Σ → Words²Σ) → (Words²Σ → Words²Σ)）的模型，将该框架推广至高阶泛函。
• 探索利用算子代数和动力系统的同伦不变量及等价关系代价，通过比较Borel同构的微观宇宙，来区分复杂性类。
• 通过利用图化模型的代数和测度论基础，将该方法扩展至量子计算和并发计算，这些基础天然地容纳概率性和量子过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 线性逻辑的可实现性模型能否统一表征包括确定性、非确定性、概率性和并发计算在内的不同计算范式中的复杂性类？
• RQ2 与保测Borel映射的微观宇宙相关的Borel等价关系的代价，如何用于表征和区分LogSpace和PTime等复杂性类？
• RQ3 图化代数的分类在多大程度上能为高阶泛函的统一复杂性理论提供结构性基础？
• RQ4 算子代数和动力系统中的不变量（如同伦不变量或等价关系的代价）能否用于证明复杂性类之间的分离结果？
• RQ5 是否可能通过相同的基于图化的可实现性模型，将该框架扩展至表征量子复杂性类（如BQPtime和PPtime）？

主要发现

• 该框架成功通过基于多头自动机的可实现性模型，表征了一大类复杂性类，包括Regular、Stochastic、LogSpace、NLogSpace、coNLogSpace和PLogSpace。
• 论文证明了包含关系 2Dfa(k) ⊂≠ 2Dfa(k+1)、2Nfa(k) ⊂≠ 2Nfa(k+1)、co2Nfa(k) ⊂≠ co2Nfa(k+1) 和 2Pfa(k) ⊂≠ 2Pfa(k+1) 可通过相关Borel等价关系的代价被捕捉，并可能实现分离。
• 该模型自然地容纳高阶泛函，其中类型如 (Words²Σ → Words²Σ) → (Words²Σ → Words²Σ) 对应于类型2泛函，为高阶计算的复杂性理论提供了可能路径。
• 用于表征PTime的微观宇宙并非群，也不由保测映射构成，这限制了标准不变量（如代价）的直接适用性，因此需要对Borel等价关系理论进行扩展。
• 该框架避开了Razborov和Rudich提出的自然证明障碍，表明其可能为复杂性理论中的分离结果提供一条可行的替代路径。
• 该方法为通过图化模型的代数和测度论结构，表征量子和概率复杂性类（如BQPtime和PPtime）提供了基础。