[论文解读] Towards a Constructive Framework for Stabilization and Control of Nonlinear Systems: Passivity and Immersion (P\&I) Approach

Syed Shadab Nayyer, Sushama Wagh+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2022

Control and Stability of Dynamical Systems被引用 5

一句话总结

本文提出了一种新颖的无源性与沉浸（P&I）框架，通过利用不变目标流形、无源输出以及由非退化二形式导出的存储函数，实现对非线性系统的稳定化。该方法统一了多种控制范式，通过隐式流形实现参数无关的稳定化，并提供一种构造性、系统化的方法，适用于结构化与非结构化非线性系统，包括参数严格反馈形式的系统。

ABSTRACT

The varied and complex dynamics of real-world systems challenge the formulation of a systematic strategy for designing a stabilizing feedback law. Rather than taking a universal approach, the control strategies developed thus far to handle this problem are specific to the inherent structure of the system under consideration. Therefore, this paper attempts to develop a generalized theory for the design of the stabilizing feedback law wherever possible for a general class of systems, including the systems in standard structured and unstructured forms discussed in the existing literature. The theory behind this general controller design theory utilizes the idea of an invariant target manifold giving rise to a non-degenerate two form, through which the definition of certain passive outputs and storage functions leads to a generation of control law for stabilizing the system. Because the above concepts are linked with the Immersion and Invariance (I&I) design policy and the passivity theory of controller design, the proposed methodology is labeled as the "Passivity and Immersion (P&I) approach". Furthermore, being a constructive methodology, the various worked examples in this paper exemplify and demonstrate the various design paradigms such as Backstepping, Incremental Backstepping, Forwarding, I&I, and the techniques based on the generation of Control Contraction Metrics (CCM) can be unified in the P&I methodology.

研究动机与目标

• 开发一种通用的、构造性的非线性系统稳定化框架，以克服现有方法（如控制李雅普诺夫函数（CLF）和反步法）的局限性。
• 在单一理论框架下统一多种控制设计范式，如反步法、前馈法和收缩理论。
• 解决沉浸与不变性（I&I）方法中缺乏系统化程序的问题，特别是在实现流形吸引性方面。
• 通过构建对参数不确定性不变的隐式流形、无源输出和存储函数，实现参数无关的稳定化。
• 提供一种系统化、计算上可行的方法，适用于结构化（如严格反馈形式）和非结构化非线性系统。

提出的方法

• 该框架通过不变目标流形构造一个非退化二形式，从而定义无源输出和存储函数。
• 采用两步法：首先，利用映射 Ψ(ν(η)) = ∇Ψ(ν(η))（其中 Σ(x) 满秩）定义目标流形；其次，通过满足 V̇ ≤ −τ(x)V 的芬斯勒-李雅普诺夫函数（FLF）确保吸引性。
• 控制律由延长系统变分动力学满足 δẋ = σ(x)δx 的条件推导得出，其中 σ(x) = ∇[f(x) + g(x)Υ(x)]。
• 采用候选FLF：V(x, δx) = δxᵀΣᵀ(x)Ξ(x)Σ(x)δx，其必须沿轨迹递减以确保指数稳定。
• 该方法整合了收缩理论与控制收缩度量（CCM）的思想，使用黎曼度量 M(x)，并要求当 δxᵀMB = 0 时，AᵀM + MA + Ṁ + 2αM ≤ 0。
• 该方法在参数严格反馈（PSF）形式的系统上得到验证，展示了其适用性及收敛至全局渐近稳定平衡点的能力。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构建一种通用的、构造性的非线性系统稳定化框架，以超越特定系统结构的限制？
• RQ2 P&I方法能否在单一理论基础下统一反步法、前馈法和收缩理论等现有控制方法？
• RQ3 在沉浸与不变性（I&I）方法中，如何系统性地实现流形吸引性，而无需对李雅普诺夫函数进行任意选择？
• RQ4 在多大程度上可以构造出参数无关的无源输出和存储函数，以确保对参数不确定性的鲁棒性？
• RQ5 在所提出的P&I框架下，何种条件可确保非线性系统（特别是PSF形式与非三角形式）的普遍指数可稳定化？

主要发现

• P&I框架成功为一大类非线性系统构造了稳定控制律，包括那些不具备严格反馈或前馈结构的系统。
• 该方法通过定义对参数变化保持不变的隐式流形、无源输出和存储函数，实现了参数无关的稳定化。
• 对于参数严格反馈（PSF）形式的系统，P&I方法通过延长系统动力学确保了平衡点 x* 的全局渐近稳定性（GAS）。
• 该框架提供了系统化的流形吸引性实现程序，克服了经典I&I方法中缺乏结构化方法的缺陷。
• 存在满足凸可行性条件（201）的控制收缩度量（CCM）可确保普遍指数可稳定化，如定理5所证明。
• 理论与数值结果表明，P&I方法在单一构造性框架下统一了包括反步法、前馈法和基于收缩的控制在内的多种控制范式。