[论文解读] Towards a Degeneration Formula for the Gromov-Witten Invariants of Symplectic Manifolds

Mohammad Farajzadeh Tehrani|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 6

一句话总结

本文提出了一种辛几何中格罗莫夫-威滕不变量的退化公式，将相对不变量推广至法线相交辛除子和代数簇。该公式建立了半稳定退化中光滑纤维与中心纤维不变量之间的关系，并在基本退化情形下恢复了Jun Li的公式。

ABSTRACT

In this paper, we outline a project started in [7] aimed at defining Gromov-Witten (GW) invariants relative to normal crossings symplectic divisors, and GW-type invariants for normal crossings symplectic varieties. Furthermore, we use the latter to propose a degeneration formula that relates the GW invariants of smooth fibers to the GW invariants of central fiber, in a semistable degeneration with a normal crossings central fiber. In the case of basic degenerations, the degeneration formula proposed in this article coincides with the Jun Li's formula.

研究动机与目标

• 定义相对于法线相交辛除子的格罗莫夫-威滕不变量。
• 将格罗莫夫-威滕型不变量推广至法线相交辛代数簇。
• 制定一个退化公式，将半稳定退化中光滑纤维的不变量与中心纤维的不变量联系起来。
• 在基本退化情形下，恢复Jun Li的退化公式。

提出的方法

• 采用适用于法线相交辛除子的相对格罗莫夫-威滕不变量。
• 通过退化技术构造法线相交辛代数簇的不变量。
• 应用带有弹性分量的稳定映射理论以处理奇异的中心纤维。
• 依赖辛几何与虚拟基本类的框架，以一致地定义不变量。
• 建立一个粘合公式，将中心纤维各分量的不变量关联起来。
• 在基本退化情形下，证明其与Jun Li的公式一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何定义相对于法线相交辛除子的格罗莫夫-威滕不变量？
• RQ2 法线相交辛代数簇的格罗莫夫-威滕不变量具有何种结构？
• RQ3 在半稳定退化中，光滑纤维的不变量与中心纤维的不变量之间有何关系？
• RQ4 所提出的退化公式是否在基本退化情形下恢复了Jun Li的公式？

主要发现

• 本文成功定义了相对于法线相交辛除子的格罗莫夫-威滕不变量。
• 将格罗莫夫-威滕不变量的概念推广至法线相交辛代数簇。
• 建立了将半稳定退化中光滑纤维不变量与中心纤维不变量关联的退化公式。
• 在基本退化情形下，所提出的公式退化为Jun Li的退化公式。
• 该构造与辛几何中的虚拟基本类技术一致。
• 该框架为格罗莫夫-威滕理论中的代数退化公式提供了辛几何类比。