[论文解读] Towards a probability-free theory of continuous martingales

Vladimir Vovk, Glenn Shafer|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2017

Stochastic processes and financial applications被引用 6

一句话总结

本文在不依赖概率测度的条件下，基于博弈概率理论，为具有连续价格路径的金融市场的连续时间鞅理论构建了一个无需概率假设的理论体系，定义了上鞅、鞅和半鞅。该理论建立了杜宾-施瓦茨定理和吉尔萨诺夫定理等关键结果的概率自由版本，并利用路径逐时局部时和连续时间资本过程，推导出博弈论意义下的风险溢价与CAPM关系。

ABSTRACT

Without probability theory, we define classes of supermartingales, martingales, and semimartingales in idealized financial markets with continuous price paths. This allows us to establish probability-free versions of a number of standard results in martingale theory, including the Dubins-Schwarz theorem, the Girsanov theorem, and results concerning the Itô integral. We also establish the existence of an equity premium and a CAPM relationship in this probability-free setting.

研究动机与目标

• 为金融市场的连续时间鞅理论建立一个严格且无需概率假设的基础。
• 在不假设随机过程或概率测度的前提下，定义上鞅、鞅和半鞅。
• 建立经典结果（如杜宾-施瓦茨定理和吉尔萨诺夫定理）的路径逐时类比。
• 仅基于连续价格路径和资本过程，推导出博弈论意义下的风险溢价与CAPM关系。
• 表明关键概率结果（如重对数律、中心极限定理）在此框架下可作为路径逐时不等式自然出现。

提出的方法

• 将样本空间定义为所有 [0, ∞) 上取值于实数的 J 重连续函数的集合，代表价格路径与信息路径。
• 引入具有停止时间与有界投注的简单交易策略，通过离散时间收益生成连续且适应的资本过程。
• 将非负上鞅定义为包含所有非负简单资本过程的最小下极限闭类。
• 将连续鞅定义为局部时表现良好且通过局部时与二次变差满足路径逐时鞅性质的进程。
• 利用信息过程 I 的局部时定义连续 I-鞅，以构造路径逐时的随机积分与指数鞅的类比。
• 应用路径逐时局部时与重对数律，推导出模仿测度论概率极限定理的不等式，而无需依赖测度论概率。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不假设概率测度的前提下，发展出完整的连续鞅理论？
• RQ2 经典结果（如杜宾-施瓦茨定理与吉尔萨诺夫定理）能否在路径逐时、无概率的框架下重新表述？
• RQ3 在无概率假设的连续时间市场中，博弈论意义下的风险溢价是否存在？
• RQ4 CAPM 能否作为局部时与二次变差的路径逐时结果而非数学期望的推论被推导出来？
• RQ5 在何种条件下，连续 I-鞅的类与测度论意义下的连续局部鞅类完全一致？

主要发现

• 本文建立了杜宾-施瓦茨定理的概率自由版本，证明每个连续局部鞅均可通过路径逐时的时间变换转化为标准布朗运动。
• 证明了路径逐时的吉尔萨诺夫定理，表明测度变换可通过时钟变换与局部时实现，而无需依赖概率测度。
• 证明过程 $ \exp\left(\epsilon(M^{S}_{t}-\Sigma^{S,I}_{t}) - \frac{\epsilon^2}{2}\Sigma^{S}_{t}\right) $ 为连续 I-鞅，推广了路径逐时设定下的指数鞅。
• 通过不等式 $ \overline{\mathbb{P}}^{I}\left\{ \left| M^{S}_{\tau_T} - \Sigma^{S,I}_{\tau_T} \right| \geq z_{\delta/2}\sqrt{T} \right\} \leq \delta $ 推导出中心极限定理，其中 $ \tau_T := \inf\{t : \Sigma^{S}_{t} \geq T\} $。
• 重对数律以路径逐时方式被恢复：当 $ \Sigma^{S}_{t} \to \infty $ 时，几乎必然有 $ \limsup_{t\to\infty} \frac{ |M^{S}_{t} - \Sigma^{S,I}_{t}| }{ \sqrt{2\Sigma^{S}_{t} \ln \ln \Sigma^{S}_{t}} } = 1 $，在博弈论概率测度下成立。
• CAPM 被重新表述为路径逐时不等式：当 $ \Sigma^{I}_{t} \gg 1 $ 时，有 $ M^{S}_{t} \approx \Sigma^{S,I}_{t} $，风险溢价由信息过程的局部时自然产生。