[论文解读] Towards a realistic NNLIF model: Analysis and numerical solver for excitatory-inhibitory networks with delay and refractory periods

María J. Cáceres, Ricarda Schneider|arXiv (Cornell University)|May 5, 2017

Neural dynamics and brain function被引用 3

一句话总结

本文对具有突触传递延迟和不应期的现实两 population 网络化噪声漏斗积分-放电（NNLIF）模型进行了全面的分析与数值研究。证明了稳态的存在性与唯一性，表明当兴奋性到兴奋性突触无延迟时会发生爆破（blow-up），并提出一种基于 WENO 格式与 TVD Runge-Kutta 方法的高阶数值求解器，用于模拟不同网络动力学下的爆破、同步与稳定性现象。

ABSTRACT

The Network of Noisy Leaky Integrate and Fire (NNLIF) model describes the behavior of a neural network at mesoscopic level. It is one of the simplest self-contained mean-field models considered for that purpose. Even so, to study the mathematical properties of the model some simplifications were necessary Cáceres-Carrillo-Perthame(2011), Cáceres-Perthame(2014), Cáceres-Schneider(2017), which disregard crucial phenomena. In this work we deal with the general NNLIF model without simplifications. It involves a network with two populations (excitatory and inhibitory), with transmission delays between the neurons and where the neurons remain in a refractory state for a certain time. We have studied the number of steady states in terms of the model parameters, the long time behaviour via the entropy method and Poincaré's inequality, blow-up phenomena, and the importance of transmission delays between excitatory neurons to prevent blow-up and to give rise to synchronous solutions. Besides analytical results, we have presented a numerical resolutor for this model, based on high order flux-splitting WENO schemes and an explicit third order TVD Runge-Kutta method, in order to describe the wide range of phenomena exhibited by the network: blow-up, asynchronous/synchronous solutions and instability/stability of the steady states; the solver also allows us to observe the time evolution of the firing rates, refractory states and the probability distributions of the excitatory and inhibitory populations.

研究动机与目标

• 构建一个数学上严谨的神经网络模型，整合关键生物特性：两组神经元（兴奋性/抑制性）、突触传递延迟与不应期。
• 分析完整 NNLIF 系统中稳态的数量与稳定性，特别是针对不同连接性与延迟参数的变化。
• 研究爆破现象，识别兴奋性到兴奋性突触延迟在防止有限时间爆破中的关键作用。
• 设计并实现一种高阶数值求解器，能够模拟复杂网络行为，如爆破、同步与稳定性转变。
• 为探索 NNLIF 动力学中的开放问题（如解的全局存在性与稳定性）提供确定性数值框架。

提出的方法

• 构建了描述兴奋性与抑制性神经元的两个 Fokker-Planck 类型 PDE 与两个 ODE 的耦合系统，整合膜电位密度与不应期状态。
• 应用熵方法与 Poincaré 不等式，证明在连接性参数较小且无传递延迟时，系统指数收敛至稳态。
• 采用高阶通量分裂 WENO 格式对 PDE 进行空间离散化，确保在主导对流区域的精度与稳定性。
• 采用显式三阶 TVD Runge-Kutta 方法进行时间积分，保持单调性并避免振荡。
• 实现一种高效的数据保存与恢复策略，以处理突触传递中的时间延迟，特别是连接核中延迟项的处理。
• 通过数值实验验证求解器：显示零兴奋性延迟时发生爆破、收敛至稳态，以及在特定参数区域内出现周期解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有两组神经元、不应期与传递延迟的 NNLIF 模型中，稳态在何种条件下存在？
• RQ2 传递延迟（特别是兴奋性神经元之间的延迟）如何影响网络的稳定性与长期行为？
• RQ3 熵方法在无延迟且连接性参数较小时，如何用于证明系统指数收敛至稳态？
• RQ4 该模型是否可能在有限时间内发生爆破？若可能，其参数条件为何？
• RQ5 是什么因素决定了解收敛至稳态，还是演化为同步、周期或不稳定动力学？

主要发现

• 与无不应期模型不同，带有不应期状态的 NNLIF 模型始终至少存在一个稳态。
• 在特定参数约束下证明了稳态的唯一性，并在无延迟且连接性参数较小时建立了对稳态的指数收敛。
• 若兴奋性神经元之间的传递延迟为零，即使其他延迟（抑制性到兴奋性或抑制性到抑制性）非零，系统仍会发生有限时间内的爆破。
• 数值模拟证实，非零的兴奋性到兴奋性延迟可防止爆破，并允许解收敛至稳态或周期性同步解。
• 该数值求解器成功捕捉了多种动力学行为：爆破、非同步与同步解，以及不稳定与稳定状态之间的转变，准确追踪了发放率、不应期状态与概率密度函数。
• 对多个稳态的稳定性分析表明，仅最低发放率的稳态是稳定的，而更高发放率的稳态则不稳定，表明在所观察的参数区域内不存在双稳态。