[论文解读] Towards a renormalization theory for quasi-periodically forced one dimensional maps II. Asymptotic behavior of reducibility loss bifurcations

Pau Rabassa, Àngel Jorba+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2011

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文将一维重整化理论扩展至准周期强迫的一维映射，分析周期加倍级数中可约性丧失分岔的渐近行为。证明了连续分岔区间的比值收敛于费根鲍姆常数 δ ≈ 4.669，且收敛速率取决于准周期耦合的傅里叶系数，从而在强迫设定下确立了普遍性。

ABSTRACT

In this paper we are concerned with quasi-periodic forced one dimensional maps. We consider a two parametric family of quasi-periodically forced maps such that the one dimensional map (before forcing) is unimodal and it has a full cascade of period doubling bifurcations. Between one period doubling and the next one it is known that there exist a parameter value where the $2^n$-periodic orbit is superatracting. In a previous work we proposed an extension of the one-dimensional (doubling) renormalization operator to the quasi-periodic case. We proved that, if the family satisfies suitable hypotheses, the two parameter family has two curves of reducibility loss bifurcation around these parameter values. In the present work we study the asymptotic behavior of these bifurcations when $n$ grows to infinity. We show that the asymptotic behavior depends on the Fourier expansion of the quasi-periodic coupling of the family. The theory developed here provides a theoretical explanation to the behavior that can be observed numerically.

研究动机与目标

• 将一维重整化理论扩展至准周期强迫的一维映射。
• 分析当吸引周期轨道的周期趋于无穷时，可约性丧失分岔的渐近行为。
• 为强迫映射分岔图中观察到的自相似性与普遍性提供理论解释。
• 确立分岔区间收敛速率依赖于准周期耦合的傅里叶展开的结论。

提出的方法

• 通过具有非退化频率的二维参数族映射，将一维加倍重整化算子适应至准周期设定。
• 采用共轭方法，将动力系统约化为重整化算子在映射空间上的作用。
• 应用渐近等价与摄动技术，分析在超级吸引周期轨道附近可约性丧失曲线的行为。
• 利用重整化算子导数的谱分析，研究分岔区间的缩放行为。
• 引入分岔方向的主分量与摄动分量分解，以估计连续分岔宽度的比值。
• 依赖于线性化重整化算子谱性质的猜想，其数值证据来自先前的工作。

实验结果

研究问题

• RQ1 在准周期强迫映射中，当吸引周期轨道的周期增加时，可约性丧失分岔的渐近行为如何？
• RQ2 在准周期设定下，连续分岔区间之比是否收敛于费根鲍姆常数 δ？若收敛，其条件为何？
• RQ3 渐近缩放在多大程度上依赖于准周期耦合函数的傅里叶展开？
• RQ4 该理论框架在多大程度上可解释强迫映射数值分岔图中观察到的普遍性与自相似性？
• RQ5 线性化重整化算子的谱性质在决定分岔区间收敛速率方面起什么作用？

主要发现

• 连续可约性丧失分岔区间的比值收敛于费根鲍姆常数 δ ≈ 4.669，确认了准周期设定下的普遍性。
• 分岔区间比值的收敛速率由准周期耦合函数的傅里叶系数决定。
• 分岔曲线的渐近行为由线性化重整化算子的谱性质决定，特别是主导特征值。
• 在连续层级上，分岔曲线导数之比渐近等价于 δ⁻¹，其修正项为 O(ρⁿ) 形式，其中 0 < ρ < 1。
• 耦合函数的摄动导致分岔比值的有界偏差，偏差大小由摄动 η 的大小与谱间隙控制。
• 理论预测与数值观测一致，验证了所提出的准周期强迫映射重整化框架。