[论文解读] Towards a Simplified Theory of Double Boolean Algebras: Axioms and Topological Representation

Prosenjit Howlader, Léonard Kwuida+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2026

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一句话总结

本文引入了双布尔代数（dBas）的简化 D-core 公理系统，证明其等价于 Wille 的原始定义，并建立布尔与拓扑表示，以及用于情境化和纯 dBas 的简化证明体系。

ABSTRACT

Double Boolean algebras (dBas), introduced by Wille, are based on twenty-three identities. We present a simplified axiom system, the D-core algebra, and prove it is equivalent to Wille's original definition. This reduction allows improved structural results, including a refined Boolean representation theorem showing fewer conditions suffice to represent a dBa as a pair of Boolean algebras linked by adjoint maps. We generalize the glued-sum construction to possibly overlapping Boolean algebras, characterize them via a generalized order, and establish a Stone-type topological representation: every dBa is quasi-isomorphic to a dBa of clopen subsets of a Stone space. Simplified logical systems for contextual and pure dBas are developed with soundness and completeness.

研究动机与目标

• 通过 D-core 代数概念为双布尔代数（dBas）提供最小、无冗余的公理化。
• 证明每个 dBa 等价于一个 D-core 代数，并给出从两个布尔代数到布尔表示的简化路径。
• 扩展并完善表示结果，包括对 dBas 的石型拓扑表示。
• 将粘合求和构造推广到重叠的布尔代数，并通过广义序来刻画它们。
• 为情境化和纯 dBas 设计简化的序列和超序系统并证明其等价于现有系统。

提出的方法

• 将 D-core 代数引入为 dBas 的最小公理集合，并证明其与 Wille 的定义等价。
• 从 D-core 系统导出冗余公理并证明关键性质（如否定律和对偶否定律）。
• 提供布尔代数的广义粘合求和构造，并通过映射 r,e,r',e' 将其扩展到 dBas。
• 通过将 dBa 元素映射到积 Stone 空间的闭合开集来构建基于 Stone 空间的拓扑表示。
• 定义并分析 CTSCR（在带有连续关系的拓扑空间上的情境）以获得对情境化和纯 dBas 的拓扑表示。
• 给出简化的证明体系 L（情境化）和 HL（纯）并证明它们分别等价于 CDBL 和 PDBL。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个最小的 D-core 公理系统是否能够完整捕捉双布尔代数的结构？
• RQ2 如何在 D-core 框架下改进 Wille 的布尔表示以需条件更少？
• RQ3 所有 dBas 的合适拓扑表示是什么，以及在情境化与纯情形下如何具体化？
• RQ4 广义粘合求和构造是否能在 dBas 内提供更广泛的重叠性组合的布尔代数？
• RQ5 是否存在与现有演算相一致的更简单、等价的情境化与纯 dBas 的证明体系？

主要发现

• D-core 代数等价于双布尔代数，提供最小、无冗余的公理化。
• 经改进的布尔表示定理显示，表示 dBa 为由相邻映射连接的两个布尔代数对所需的条件更少。
• 广义粘合求和构造扩展到重叠的布尔代数并在适当条件下产生广义的 D-core 代数。
• 基于 Stone 空间的拓扑表示证明每个 dBa 与 Stone 空间的闭集子集构成的 dBa 在本质上准同构，情境化和纯情形通过闭集原像概念与半概念得到完整刻画。
• 新的简化序列与超序计算 L 与 HL 分别等价于 CDBL 与 PDBL，为情境化和纯 dBas 提供更清晰的证明体系。
• 拓扑框架 CTSCR 通过乘积 Stone 空间与闭集矩形实现对 dBas 与情境 dBas 的统一表示。