[论文解读] Towards a Simulation of Quantum Computers by Classical Systems

Z. Haba, H. Kleinert|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2001

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 9

一句话总结

本文提出了一种类经典随机模型，通过由白噪声驱动的二维位移场随机微分方程，模拟量子谐振子的动力学。通过将复场的实部与虚部分别映射为波函数分量，该模型从经典动力学中推导出量子谐振子的离散能级谱，并通过Riccati型势能构造方法推广至任意势能。

ABSTRACT

We present a two-dimensional classical stochastic differential equation for a displacement field of a point particle in two dimensions and show that its components define real and imaginary parts of a complex field satisfying the Schroedinger equation of a harmonic oscillator. In this way we derive the discrete oscillator spectrum from classical dynamics. The model is then generalized to an arbitrary potential. This opens up the possibility of efficiently simulating quantum computers with the help of classical systems.

研究动机与目标

• 开发一种能够模拟量子行为（特别是量子系统的离散能级谱）的经典系统。
• 克服先前经典模型缺乏能量谱下界限制的缺陷。
• 证明量子力学（包括其能级谱）可从经典随机动力学中自然涌现。
• 通过基于调和函数的Riccati方程构造势能，将模型推广至任意势能。
• 探索利用经典系统模拟量子计算机的可行性，从而规避量子退相干问题。

提出的方法

• 为位移场 u(x,t) 定义一个二维经典随机微分方程，其动力学由旋转流和(1,1)方向的白噪声驱动。
• 位移场分量满足柯西-黎曼方程，确保全纯结构，噪声具有零均值和狄拉克相关函数 ⟨η(t)η(t′)⟩ = ℏδ(t−t′)。
• 噪声平均导致平均位移场满足Fokker-Planck型方程，经复场变换后可证明其满足薛定谔方程形式。
• 引入复场 ψ(x,t) = e^{−S¹(x)/ℏ}[ū¹(x,t) + iū²(x,t)]，其中 S¹(x) 为调和函数，该场满足时间依赖的薛定谔方程，势能 V(x) 由Riccati方程导出。
• 通过将调和函数替换为满足 ΔS¹ = 0 的一般 S¹(x)，模型推广至任意势能，得到势能表达式 V(x) = ½(∂ₓS¹)² − (ℏ/2)∂ₓ²S¹。
• 噪声亦被建模为具有随机初值的大量经典谐振子之和，在连续极限下产生所需的白噪声相关性。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典随机系统能否再现量子谐振子的离散能级谱？
• RQ2 所提出的模型是否避免了早期经典类比中能量谱无下界的问题？
• RQ3 能否通过适当的变换，从经典随机动力学推导出任意势能的薛定谔方程？
• RQ4 是否可能仅通过经典噪声与确定性动力学模拟量子波函数及其时间演化？
• RQ5 量子力学的测量 postulate 能否从这种经典随机框架中推导而出？

主要发现

• 平均位移场 ū(x,t) 按时间无关算符  Ĥ 演化，该算符为复场 ψ(x,t) 生成薛定谔方程形式的动力学。
• 对于谐振子，势能 V(x) 恢复为 V(x) = ½(∂ₓS¹)² − (ℏ/2)∂ₓ²S¹，其中 S¹(x) = ωx²/2，得到标准谐振子能谱。
• 该模型成功产生具有基态的离散能级谱，解决了先前经典模型中能量谱无下界的问题。
• 复场 ψ(x,t) 满足薛定谔方程 iℏ∂ₜψ = [−(ℏ²/2)∂ₓ² + V(x)]ψ，确认其具有量子力学行为。
• 噪声源 η(t) 可被替换为具有随机初值的大量经典谐振子之和，在连续极限下产生所需的白噪声相关性。
• 通过基于调和函数 S¹(x) 的Riccati型势能构造，模型可推广至任意势能，实现任意量子势能问题的经典模拟。