[论文解读] Towards $C^0$ finite element methods for fourth-order elliptic equation. Part I: general boundary conditions

Xihao Zhang, Hengguang Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2026

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics被引用 0

一句话总结

本研究开发了一种改进的混合型新颖公式，使C0有限元方法能够用于在具有混合边界条件的一般多边形区域上的四阶双调和方程，将问题转化为泊松方程组，并提供收敛性理论与数值验证。

ABSTRACT

This paper is part of a series developing $C^0$ finite element methods for fourth-order elliptic equations on polygonal domains. Here, we investigate how boundary conditions influence the design of effective $C^0$ schemes, specifically focusing on equations without lower-order terms, namely the biharmonic equation. We propose a modified mixed formulation that decomposes the problem into a system of Poisson equations, where the number of equations depends on both the largest interior angle and the boundary conditions on its two adjacent sides. In contrast to the naive mixed formulation, which involves only two Poisson problems, the proposed approach guarantees convergence to the true solution for arbitrary polygonal domains and general boundary conditions, including Navier, Neumann, and mixed boundary conditions. $C^0$ finite element algorithms are developed, rigorous error estimates are established, and numerical experiments are presented to demonstrate the well-posedness and effectiveness of the proposed method.

研究动机与目标

• 在多边形区域对具有一般边界条件的四阶问题，说明使用C0-FEM的需求与动机。
• 提出一种改良的混合型公式，使解限定在正确的Sobolev空间内。
• 开发C0有限元算法并给出严格的误差估计。
• 证明改良的混合泊松系统等价于原始的双调和问题。
• 通过数值实验与现有方法的比较验证该方法。

提出的方法

• 将四阶双调和问题重新表述为解耦的泊松方程组，并通过基于拉普拉斯像正交补的空间限制修正项进行增强。
• 识别并构建一个与区域几何和边界类型相关的ξ_m函数构成的正交补的有限维基。
• 定义一种改良的混合型公式，其中w解泊松问题，ũ解泊松问题，右端项为w在拉普拉斯像上的投影w_S。
• 开发一种C0线性有限元算法，求解泊松系统并通过对系数c_m的一个小线性系统来强制实现修正。
• 在适当的Sobolev空间中证明所提出的改良公式与原始双调和问题等价并推导误差估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 一般边界条件如何影响多边形区域上双调和方程的C0有限元设计与收敛？
• RQ2 通过解耦泊松系统并加上空间受限修正，是否能够可靠地解决具有混合Navier/Neumann/Dirichlet边界条件的双调和问题？
• RQ3 区域内最大内角对需要额外泊松问题的数量和收敛速率有何影响？
• RQ4 在不同边界条件和区域几何下，所提改良混合公式和相应的C0-FEM算法是否给出最优或接近最优的收敛速率？

主要发现

• 改良的混合公式将双调和问题转化为泊松问题组，额外方程的数量取决于最大内角及相邻边界条件。
• 拉普拉斯像的正交补是有限维的，基底{ξ_m}用于修正简单解耦，确保解落在正确的Sobolev空间内。
• 所提出的C0-FEM算法在w的H1范数和u的H2范数上达到收敛，速率受最大角度和边界类型影响。
• 对于Navier/Neumann边界条件，方法在采用线性拉格朗日单元时达到h阶最优收敛；而混合边界条件的收敛率为h或h^{2α}，取决于角ω。
• 理论结果确立了改良公式与原始双调和问题之间的等价性，数值实验验证了良好性与有效性。