[论文解读] Towards Completely Characterizing the Complexity of Boolean Nets Synthesis

Ronny Tredup, Christian Rosenke|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2018

Formal Methods in Verification参考文献 4被引用 6

一句话总结

本文对由八个基本交互（nop、inp、out、set、res、swap、used、free）派生出的全部256种布尔网络类型，提供了全面的计算复杂性分析。通过从单调一逗三3-SAT问题通用约化，证明了77类网络的NP完全性；通过另一种独立约化方法，识别出另外七类NP难问题；并为36个可解类提供了多项式时间合成算法，包括（nop, swap）和（nop, set）/（nop, res）与（out, used, free）子集的扩展。

ABSTRACT

Boolean nets are Petri nets that permit at most one token per place. Research has approached this important subject in many ways which resulted in various different classes of boolean nets. But yet, they are only distinguished by the allowed interactions between places and transitions, that is, the possible effects of firing transitions. There are eight different interactions: no operation (nop), input (inp), output (out), set, reset (res), swap, test of occupation (used), and test of disposability (free). Considering every combination for a possible net class yields 256 boolean classes in total. The synthesis problem for a particular class is to take an automaton A and compute a boolean net of that class that has a state graph isomorphic to A. To the best of our knowledge, the computational complexity of this problem has been analyzed for just two of the 256 classes, namely elementary nets systems (nop, inp, out), where the problem is NP-hard, and flip-flop nets (nop, inp, out, swap), which are synthesizable in polynomial time. However, depending on the desired net features, like read-only places, exception handling, or hierarchy, one has to synthesize nets with other interactions as for instance contextual nets (nop, inp, out, used, free) or trace nets (nop, inp, out, set, res, used, free). The contribution of this paper is a thorough investigation of the synthesis complexity for the 128 boolean net classes that allow nop. Our main result is a general proof scheme that identifies 77 NP-hard cases. All remaining 51 classes are shown to be synthesizable in polynomial time where 35 of them turn out to be trivial.

研究动机与目标

• 全面刻画基于八种基本交互派生出的所有256种交互式布尔网络类型的合成计算复杂性。
• 确定哪些网络类别允许多项式时间合成，哪些为NP完全性，重点关注将带标签转移系统转化为对应网络结构的可行性。
• 开发一种通用约化方案，用于证明在广泛网络类型族中NP难性，将先前方法从基本网系统扩展至更广范围。
• 识别并分析剩余八类尚未解决的复杂性情况，其合成复杂性仍属开放，尤其针对涉及（nop, inp, [used]）、（nop, out, [free]）、（nop, set, res）以及（nop, swap）与set/res组合的网络。
• 为此前未解决的20个可解网络类别提出新的多项式时间合成算法，包括（nop, set）和（nop, res）与（out, used, free）的扩展。

提出的方法

• 提出一种通用约化方案，将NP完全的单调一逗三3-SAT问题转化为77类网络的事件状态分离性质（ESSP），从而证明可行性为NP完全性，进而确立合成的NP难性。
• 利用可行性与状态分离性质（SSP）和ESSP的合取等价性，将合成问题转化为对转移系统的决策问题。
• 在（nop, inp, out）的超集（不包括swap）、（nop, inp, set）或（nop, out, res）的超集，以及（nop, swap）与至少一个（set, res）或（inp, out, used, free）的扩展中，应用统一的约化模式。
• 为16类将（nop, set）与（out, used, free）子集结合的网络，以及16类将（nop, res）与（inp, used, free）子集结合的网络，开发新的多项式时间合成算法，推广Schmitt针对（nop, swap）扩展的方法。
• 运用技术引理和基于区域的分析，验证由布尔公式导出的复杂装置转移系统的SSP与ESSP，确保约化的正确性。
• 由于在应用通用约化或多项式算法方面存在结构限制，有八类网络未解决，并在结论中讨论其内在挑战。

实验结果

研究问题

• RQ1 在256种可能的布尔网络类型中，哪些允许多项式时间合成，哪些为NP完全性？
• RQ2 能否开发一种通用约化方案，以证明在基本网系统之外的广泛布尔网络类别族中的NP难性？
• RQ3 哪些网络类别的结构特性能够促进或阻碍高效合成算法的实现？
• RQ4 为何某些网络类别——特别是涉及（nop, set, res）或（nop, swap）与set/res组合的类别——既无法应用通用约化，也无法应用多项式算法方法？
• RQ5 尚未解决的复杂性情况对未来网络合成与形式化方法研究有何影响？

主要发现

• 本文基于单调一逗三3-SAT的统一约化方案，确立了77种布尔网络类别的NP完全性，显著推广了先前针对基本网系统的NP难性证明。
• 通过另一种独立约化模式，证明了另外七种类别的NP难性，包括（nop, set, res）与used或free的扩展，以及（nop, inp, free, [used]）和（nop, out, used, [free]）。
• 多项式时间合成已实现于36个网络类别：16个（nop, swap）与（inp, out, used, free）子集的扩展，16个（nop, set）与（out, used, free）的组合，以及4个简单情况：（nop）与（used, free）的扩展。
• 由于在应用现有方法时存在结构限制，八种类别的合成复杂性仍属开放：（nop, inp, [used]）、（nop, out, [free]）、（nop, set, res），以及（nop, swap）与至少一个set或res的扩展。
• 作者证明了确定性布尔网络仅有八种基本交互，从而将布尔网络类型的家族完全限定为256种组合。
• 本研究证实，Schmitt针对触发器网络的方法可推广至（nop, swap）与（inp, out, used, free）的全部16种扩展，使该整个类别实现多项式时间合成。