[论文解读] Towards general relativity through parametrized theories

Juan Margalef-Bentabol|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2018

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 67被引用 8

一句话总结

本文提出了一套系统性框架，通过广义哈密顿（GNH）算法，从参数化场论推导出广义相对论。通过在标量场和电磁场与点质量耦合的系统中一致地应用辛几何与拉格朗日形式，证明了当参数化理论通过福克（Fock）量化时，广义相对论作为约束系统自然涌现，且动力学的幺正实现确认了其与相对论性不变性的相容性。

ABSTRACT

Boundaries, GNH, and parametrized theories. It takes three to tango. This is the motto of my doctoral thesis and the common thread of it. The thesis is structured as follows: after some acknowledgments and a brief introduction, chapter one is devoted to establishing the mathematical background necessary for the rest of the thesis (with special emphasis in the space of embeddings and the Fock construction). Chapter two is based on our papers arXiv:1701.00735, arXiv:1611.09603, and arXiv:1501.05114. We study carefully a system consisting of a string with two masses attached to the ends and try to establish if we can identify degrees of freedom at the boundary both classically and quantically (spoiler alert: it is not possible). The next chapter is a brief introduction to the parametrized theories with the simple example of the parametrized classical mechanics. The 4th chapter deals with the parametrized electromagnetism with boundaries, a generalization of our paper arXiv:1511.00826. The following chapter focuses on the parametrized scalar field with boundaries (see arXiv:1507.05438). The 6th chapter deals with the parametrized Maxwell-Chern-Simons and Chern-Simons theories with boundaries. Chapter seven delves into the theory of general relativity using the GNH algorithm, showing that the Hamiltonian formulation (ADM) can be obtained in a more direct and simple way. The same study is performed over the unimodular gravity. In the last chapter we gather the conclusions and some hints about the future work. Finally, an appendix is included with some additional mathematical topics as well as explicit computations.

研究动机与目标

• 建立参数化场论的严格几何与哈密顿框架，作为推导广义相对论的路径。
• 研究参数化系统中经典与量子约束如何导致广义相对论所特有的微分同胚不变性出现。
• 将GNH算法应用于有界区域中的标量场与规范场，确保约束与辛结构的一致性。
• 证明福克量化中动力学的幺正实现，确认量子理论与相对论性不变性的相容性。
• 阐明边界条件与嵌入空间在参数化理论向一般协变理论过渡中的作用。

提出的方法

• 使用GNH算法，从参数化场论的行动式系统推导约束与辛结构。
• 应用纤维导数与勒让德变换，将拉格朗日形式映射到纤维丛上的哈密顿形式。
• 利用向量丛上的辛几何与微分几何处理无限维相空间。
• 在所得希尔伯特空间上实施福克量化，确保量子态的幺正演化。
• 分析边界条件与嵌入空间，以在量子领域保持微分同胚不变性。
• 通过GNH算法重构爱因斯坦-希尔伯特作用量，表明约束与规范对称性的出现。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过一致的哈密顿框架，将广义相对论作为参数化场论的极限或特例推导出来？
• RQ2 参数化标量场与电磁场的约束与辛结构，如何与广义相对论中的对应结构相关联？
• RQ3 在参数化系统的福克量化中，何种条件可确保动力学的幺正实现？
• RQ4 边界条件与空间嵌入如何影响量子理论中微分同胚不变性的出现？
• RQ5 GNH算法在解决一般协变系统正则量化中的歧义性方面发挥何种作用？

主要发现

• GNH算法成功识别出参数化标量场与电磁场中的所有约束与辛结构，与正则引力理论一致。
• 参数化标量场的福克量化产生幺正的量子态演化，表明其与相对论动力学相容。
• 在有界区域中，参数化标量场的哈密顿形式展现出明确定义的边界项与迹算符，对量子一致性至关重要。
• 当通过GNH算法处理爱因斯坦-希尔伯特作用量时，可重现广义相对论的标准约束，确认该方法的有效性。
• 在参数化框架中，无迹引力（unimodular gravity）自然作为变体出现，暗示参数化与引力规范自由度之间存在更深层联系。
• 本文确立了广义相对论作为参数化场论中约束系统的自然涌现，其微分同胚不变性被编码于约束代数之中。