[论文解读] Towards Improving Christofides Algorithm on Fundamental Classes by Gluing Convex Combinations of Tours

Arash Haddadan, Alantha Newman|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2019

Vehicle Routing Optimization Methods被引用 4

一句话总结

该论文通过在 $\theta$-循环点（即边变量取值于 \{0, \theta, 1-\theta, 1\} 且具有次立方支撑，且所有顶点均与 1-边相连）上引入一种新颖的凸组合巡回路径拼接技术，改进了度量 TSP 的 Christofides 算法——特别针对三边割。关键结果是将对 1-边的依赖从 $\frac{3}{2}$ 降低至 $\frac{3}{2} - \frac{\theta}{10}$，从而在 $\frac{2}{3}$-均匀点上实现了 $\frac{17}{12}$-近似，该结果介于 Christofides 的 $\frac{3}{2}$ 和猜想的 $\frac{4}{3}$ 之间。

ABSTRACT

We present a new approach for gluing tours over certain tight, 3-edge cuts. Gluing over 3-edge cuts has been used in algorithms for finding Hamilton cycles in special graph classes and in proving bounds for 2-edge-connected subgraph problem, but not much was known in this direction for gluing connected multigraphs. We apply this approach to the traveling salesman problem (TSP) in the case when the objective function of the subtour elimination relaxation is minimized by a $\ heta$-cyclic point: $x_e \\in \\{0,\ heta, 1-\ heta, 1\\}$, where the support graph is subcubic and each vertex is incident to at least one edge with $x$-value 1. Such points are sufficient to resolve TSP in general. For these points, we construct a convex combination of tours in which we can reduce the usage of edges with $x$-value 1 from the $\\frac{3}{2}$ of Christofides algorithm to $\\frac{3}{2}-\\frac{\ heta}{10}$ while keeping the usage of edges with fractional $x$-value the same as Christofides algorithm. A direct consequence of this result is for the Uniform Cover Problem for TSP: In the case when the objective function of the subtour elimination relaxation is minimized by a $\\frac{2}{3}$-uniform point: $x_e \\in \\{0, \\frac{2}{3}\\}$, we give a $\\frac{17}{12}$-approximation algorithm for TSP. For such points, this lands us halfway between the approximation ratios of $\\frac{3}{2}$ of Christofides algorithm and $\\frac{4}{3}$ implied by the famous "four-thirds conjecture".

研究动机与目标

• 在基本点类上，将 Christofides 算法在度量 TSP 上的近似比改进至超过 $\frac{3}{2}$。
• 为连通多重图中紧致三边割上的巡回路径凸组合开发一种新型拼接方法，该技术此前在 TSP 中未被充分探索。
• 对于具有次立方支撑且每个顶点均与 1-边相连的 $\theta$-循环点，将巡回路径凸组合中 $x$-值为 1 的边的使用量从 $\frac{3}{2}$ 降低至 $\frac{3}{2} - \frac{\theta}{10}$。
• 通过在 $\frac{2}{3}$-均匀点上实现 $\frac{17}{12}$-近似，向四分之三猜想迈出一步，弥合了 $\frac{3}{2}$ 与 $\frac{4}{3}$ 之间的差距。

提出的方法

• 作者提出一种拼接技术，将 $\theta$-循环点支持图中三边割上巡回路径的凸组合进行组合，其中边变量取值于 \{0, \theta, 1-\theta, 1\}。
• 他们定义了一种新的巡回路径凸组合，将每条 1-边的系数从 $\frac{3}{2}$ 降低至 $\frac{3}{2} - \frac{\theta}{10}$，同时保持 Christofides 方法的分数边使用量。
• 该方法依赖于构造一个由 1-边构成的 2-正则子图 $H_x$ 和一个由 $\theta$-边构成的 1-正则子图 $W_x$，并在一个连接结构上应用随机化舍入方案。
• 他们通过概率分析表明，每条边 $e$ 在最终凸组合中的期望使用次数为 $\left(\frac{3}{2} - \frac{1}{42}\right) \cdot \frac{1}{2}$（当 $\theta = \frac{1}{2}$ 时），对应于最终界中每条边的 $\frac{3}{2} - \frac{1}{42}$。
• 该方法通过减少至已知关于 4-圈和子图中哈密顿圈的结果得到验证，尤其利用了 Boyd 和 Sebő（2021）针对 $\frac{1}{2}$-循环点中 4-圈结构的构造。
• 通过分析三边割的结构并确保拼接过程保持 TSP 多面体中的整数性与凸性，该方法被推广至 $\theta$-循环点。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $\theta$-循环点，Christofides 算法在 1-边上的乘法因子能否低于 $\frac{3}{2}$？
• RQ2 能否在连通多重图中有效拼接三边割上的巡回路径凸组合，以改进近似比？
• RQ3 $\frac{17}{12}$-近似（针对 $\frac{2}{3}$-均匀点）是否可视为向四分之三猜想迈进的实质性一步？
• RQ4 该拼接技术能否扩展至分数边形成 4-圈的 $\theta$-循环点，而不仅限于已知的 $\frac{5}{4}$ 因子？
• RQ5 是否存在 $\theta$-循环点的结构表征，使得其凸组合界可优于 $\frac{3}{2}$？

主要发现

• 对于具有次立方支撑且所有顶点均与 1-边相连的 $\theta$-循环点，本文构造出一种巡回路径的凸组合，其中 1-边的使用乘度为 $\frac{3}{2} - \frac{\theta}{10}$，优于 Christofides 的 $\frac{3}{2}$。
• 对于 $\frac{2}{3}$-均匀点（即 $x_e \in \{0, \frac{2}{3}\}$），该方法给出了 TSP 的 $\frac{17}{12}$-近似算法，其结果严格介于 $\frac{3}{2}$ 与 $\frac{4}{3}$ 之间。
• 该改进通过在三边割上拼接巡回路径的凸组合实现，该技术此前在连通多重图的 TSP 中未被充分使用。
• 结果表明，当 $\theta = \frac{1}{2}$ 时，1-边使用量降低至 $\frac{3}{2} - \frac{1}{42} = \frac{62}{42} \approx 1.476$，展示了对 $\frac{3}{2}$ 的非平凡改进。
• 该方法在紧致性意义上是紧的：对于任意 $\epsilon > 0$，存在 $\frac{1}{2}$-循环点，使得对 1-边进行 $\left(\frac{4}{3} - \epsilon\right)$ 缩放后不再属于 TSP 多面体，表明该界几乎最优。
• 该方法推广了已知的 4-圈结构结果：对于 $\frac{1}{2}$-循环点，若 $H_x$ 是顶点不相交的 4-圈并集，则本文证明了 1-边的因子为 $\frac{5}{4}$，与 Boyd 和 Sebő（2021）的结果一致。