[论文解读] Towards Integrated Glance To Restructuring in Combinatorial Optimization

Mark Sh. Levin|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2015

Optimization and Packing Problems参考文献 82被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新颖的组合优化解决方案重构框架，通过最小化结构变更成本与目标解之间的距离，实现双重优化。该框架形式化了关键问题（如0-1背包、生成树和聚类）中的一阶段、多阶段及元素集变更的重构问题，展示了如何通过启发式与多准则方法平衡变换成本与解的接近度。

ABSTRACT

The paper focuses on a new class of combinatorial problems which consists in restructuring of solutions (as sets/structures) in combinatorial optimization. Two main features of the restructuring process are examined: (i) a cost of the restructuring, (ii) a closeness to a goal solution. Three types of the restructuring problems are under study: (a) one-stage structuring, (b) multi-stage structuring, and (c) structuring over changed element set. One-criterion and multicriteria problem formulations can be considered. The restructuring problems correspond to redesign (improvement, upgrade) of modular systems or solutions. The restructuring approach is described and illustrated (problem statements, solving schemes, examples) for the following combinatorial optimization problems: knapsack problem, multiple choice problem, assignment problem, spanning tree problems, clustering problem, multicriteria ranking (sorting) problem, morphological clique problem. Numerical examples illustrate the restructuring problems and solving schemes.

研究动机与目标

• 将一类以重构现有解为向改进或目标配置方向演化的新型组合优化问题形式化。
• 在动态或演化的场景中，解决最小化重构成本与最大化与期望解接近度的双重目标。
• 通过将结构变更作为首要关注点，扩展传统优化方法，尤其适用于模块化系统与升级场景。
• 提供一个统一的框架，适用于多种组合问题，包括0-1背包、分配问题、生成树和聚类。
• 通过结构化变换模型，支持网络、软件和控制系统等现实系统中解决方案升级的决策制定。

提出的方法

• 提出一种重构模型，将解的变换视为双目标优化问题：最小化变更成本与最小化与目标解的距离。
• 定义三种问题类型：单阶段重构、多阶段重构以及元素集变更下的重构。
• 使用元素删除与添加的成本函数：$ H(S^1 \Rightarrow S^*) = \sum_{i \in E^{1*-}} h^{-}_i + \sum_{i \in E^{1*+}} h^{+}_i \leq \widehat{h} $，其中 $ h^{-}_i $ 与 $ h^{+}_i $ 分别为删除与添加成本。
• 通过引入斯坦纳顶点的添加与删除成本 $ w^{-}_j $ 与 $ w^{+}_j $，将模型扩展至斯坦纳树问题，并施加总成本约束。
• 将该框架应用于多个问题，包括0-1背包、多选问题、分配问题、生成树、聚类、排序以及形态团问题。
• 采用启发式与多准则决策技术求解重构问题，并通过数值示例展示变换路径与成本约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将组合优化问题重新表述，以将结构重构作为核心目标？
• RQ2 在动态或升级系统中，修改解的成本与与目标解接近度之间的关键权衡是什么？
• RQ3 如何对一阶段、多阶段及元素集变更的重构问题进行形式化建模与求解，以适用于多种组合问题？
• RQ4 在重构过程中同时引入成本与接近度准则，对网络与软件等现实系统有何影响？
• RQ5 如何将重构框架扩展以处理不确定性、动态元素集，并与人工智能技术集成？

主要发现

• 本文成功将重构形式化为一类具有明确问题类型与解决方案框架的新型组合优化问题。
• 在生成树问题中，从 $ T^1 $ 到 $ T^* $ 的变换需删除边 $ (1,6), (5,6) $ 并添加 $ (2,3), (2,6) $，总成本受 $ \widehat{h} $ 限制。
• 在斯坦纳树示例中，重构涉及将斯坦纳顶点从 $ \{a,b\} $ 变更为 $ \{a,c\} $，并关联顶点与边的删除与添加成本。
• 该框架支持单准则与多准则公式，可灵活权衡成本与解质量。
• 数值示例表明，重构可在受控且有界变换成本下实现近似最优解。
• 该方法具有可扩展性，适用于0-1背包、分配、聚类与排序等多种问题，显示出广泛的实际应用价值。