[论文解读] Towards lattice-regularized Quantum Gravity

Dmitri Diakonov|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2011

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 2被引用 29

一句话总结

本文提出了一种基于复合费米子场表示三形场的晶格正则化量子引力框架，通过利用格拉斯曼变量上的贝雷津积分，解决了欧几里得量子引力中的符号问题。该方法保持了局部洛伦兹不变性，并在连续极限下恢复微分同胚不变性，为大非微扰涨落提供了明确定义的路径积分，且暗示了在16维空间中与标准模型的自然统一。

ABSTRACT

Using the Cartan formulation of General Relativity, we construct a well defined lattice-regularized theory capable to describe large non-perturbative quantum fluctuations of the frame field (or the metric) and of the spin connection. To that end we need to present the tetrad by a composite field built as a bilinear combination of fermion fields. The theory is explicitly invariant under local Lorentz transformations and, in the continuum limit, under general covariant transformations, or diffeomorphisms. Being well defined for large and fast varying fields at the ultraviolet cutoff, the theory simultaneously has chances of reproducing standard General Relativity in the infrared continuum limit. The present regularization of quantum gravity opens new possibilities of its unification with the Standard Model.

研究动机与目标

• 解决由于一般协变性导致的作用量符号不定而阻碍明确定义路径积分的量子引力中的符号问题。
• 构建一种晶格正则化的量子引力理论，使其在三形场和旋联结场的大非微扰涨落下仍保持良好定义。
• 通过将三形场作为16维时空中旋量场的双线性形式嵌入，实现量子引力与标准模型的统一，该时空具有SO(16)洛伦兹对称性。
• 通过晶格正则化确保精确的局部洛伦兹不变性，并在连续极限下恢复一般协变性。
• 探索用于构建三形场的费米子自由度是否对应物质费米子，从而匹配标准模型的四代结构。

提出的方法

• 将 tetrad（三形场）表示为反对易旋量场双线性组合的复合算符，以确保其在局部洛伦兹对称性下的正确变换性质。
• 采用广义相对论的卡坦形式，将独立的三形场 $e^A_\mu$ 和旋联结场 $\omega^{AB}_\mu$ 作为描述引力的洛伦兹群规范理论。
• 在欧几里得时空实施晶格正则化，以定义有限且行为良好的路径积分，其中费米子贝雷津积分确保即使作用量符号不定也具有收敛性。
• 通过拓扑不变量如 $\epsilon^{\kappa\lambda\mu\nu} \epsilon_{ABCD} e^A_\kappa e^B_\lambda e^C_\mu e^D_\nu$ 和曲率项 $\mathcal{F}^{AB}_{\kappa\lambda} e^C_\mu e^D_\nu$ 构造作用量，以保持规范不变性。
• 通过在狄拉克–福克–外尔作用量中耦合协变导数，确保复合三形场在局部洛伦兹变换下均匀变换。
• 16维情形为优选设定：SO(16)的两个128维旋量表示恰好包含256个自由度，与标准模型的四代费米子匹配。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种晶格正则化的量子引力理论，使其在度规和连接场的任意大非微扰涨落下仍保持良好定义？
• RQ2 用复合费米子算符替代三形场是否能解决一般协变作用量固有的符号问题？
• RQ3 此类理论能否保持局部洛伦兹不变性，并在连续极限下恢复微分同胚不变性？
• RQ4 是否存在一个维度，使得费米子自由度自然容纳标准模型的四代结构？
• RQ5 希格斯机制是否能通过SO(16)对称性自发破缺至洛伦兹群和标准模型规范群而动态产生？

主要发现

• 具有复合费米子三形场的晶格正则化理论提供了明确定义的欧几里得路径积分，因为格拉斯曼变量上的贝雷津积分是有限且与符号无关的。
• 由于三形场的复合结构，该理论保持了精确的局部洛伦兹不变性，其在洛伦兹变换下均匀变换。
• 在连续极限下，该理论恢复了一般协变性（微分同胚不变性），从而实现了自洽的量子引力框架。
• 16维情形为优选设定：SO(16)的两个128维旋量表示恰好包含256个自由度，与标准模型的四代费米子完全匹配。
• 由路径积分产生的闭合环路系统暗示了在扩展拓扑激发下的对偶描述，可能与长程关联有关。
• 该模型允许经典解将SO(16)对称性自发破缺至SO(4) × SU(3) × SU(2) × U(1)，提示了标准模型规范群的几何起源。