[论文解读] Towards Massively Parallel Computations in Algebraic Geometry

Janko Boehm, Wolfram Decker+4 more|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2018

Polynomial and algebraic computation参考文献 32被引用 7

一句话总结

本文提出了一种新颖的框架，通过使用基于佩特里网的 GPI-Space 将协调与计算解耦，实现代数几何中大规模并行计算。该方法通过并行动态选择最优图册覆盖，显著降低了内存使用量和计算时间，相较于串行方法实现了超线性加速，其有效性在一般型复数曲面上得到了验证。

ABSTRACT

Introducing parallelism and exploring its use is still a fundamental challenge for the computer algebra community. In high performance numerical simulation, on the other hand, transparent environments for distributed computing which follow the principle of separating coordination and computation have been a success story for many years. In this paper, we explore the potential of using this principle in the context of computer algebra. More precisely, we combine two well-established systems: The mathematics we are interested in is implemented in the computer algebra system Singular, whose focus is on polynomial computations, while the coordination is left to the workflow management system GPI-Space, which relies on Petri nets as its mathematical modeling language, and has been successfully used for coordinating the parallel execution (autoparallelization) of academic codes as well as for commercial software in application areas such as seismic data processing. The result of our efforts is a major step towards a framework for massively parallel computations in the application areas of Singular, specifically in commutative algebra and algebraic geometry. As a first test case for this framework, we have modeled and implemented a hybrid smoothness test for algebraic varieties which combines ideas from Hironaka's celebrated desingularization proof with the classical Jacobian criterion. Applying our implementation to two examples originating from current research in algebraic geometry, one of which cannot be handled by other means, we illustrate the behavior of the smoothness test within our framework, and investigate how the computations scale up to 256 cores.

研究动机与目标

• 解决代数几何中符号计算在串行处理极限之外的可扩展性挑战。
• 在不修改其核心代码的前提下，实现在计算机代数系统中透明且非侵入式的并行计算。
• 利用分布式计算模型的优势，特别是基于佩特里网的工作流协调机制，应用于符号数学计算。
• 开发并评估一种混合光滑性测试方法，结合平权化（Hironaka）策略与雅可比判别法。
• 在真实研究问题上展示该框架的可行性与性能优势，包括现有工具无法处理的问题。

提出的方法

• 使用工作流管理系统 GPI-Space 在分布式环境中协调多个独立的 Singular 计算代数系统实例。
• 将并行计算建模为佩特里网，以实现数据并行与任务并行，具备自动负载均衡与容错能力。
• 实现一种混合光滑性测试方法，将 Hironaka 的平权化策略与经典的雅可比判别法相结合。
• 在最多 256 个核心上以大规模并行方式执行算法，每个核心负责计算环境射影空间中不同的仿射图册。
• 通过并行探索所有可能的图册覆盖组合，动态选择用于光滑性认证的最高效图册组合。
• 基于实际子步骤耗时的合成仿真，预测并验证缩放行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 非侵入式、基于协调的方法是否能够在代数几何的符号计算中实现可扩展的并行性？
• RQ2 在复杂代数簇上，混合光滑性测试在内存效率与运行时间方面相较于串行方法能提升多少？
• RQ3 在基于图册的光滑性测试并行算法中，超线性加速的成因是什么？
• RQ4 代数簇的几何结构如何影响并行算法的性能与负载均衡？
• RQ5 基于佩特里网的工作流系统是否能够自动发现符号计算中的最优计算路径？

主要发现

• 混合光滑性测试成功计算出一个数值型 Godeaux 曲面的光滑性，该曲面在使用标准射影雅可比判别法处理时，其内存需求超过机器 384 GB 的 RAM 限制。
• 在下降操作后，每个单独的雅可比计算仅使用最多 3.1 GB 的内存，展现出显著的内存效率。
• 在 256 个核心上，算法运行时间为 2,460 秒，由于硬件带宽增益与算法级负载均衡，实现了超线性加速。
• 在 16 个核心上，算法耗时 53,000 秒；在 256 个核心上，耗时 2,460 秒，加速比超过 21 倍。
• 对算法行为的仿真与实际性能高度吻合，验证了该模型的预测能力。
• 超过 128 个核心后，未观察到显著进一步加速，因为剩余子图册数量（115 个）限制了可扩展性，证实了理论极限。