[论文解读] Towards Nearly-linear Time Algorithms for Submodular Maximization with a Matroid Constraint

Alina Ene, Huy L. Nguyên|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 9

一句话总结

本文提出了首个在拟阵约束下实现近乎线性时间的单调子模最大化算法，实现了 $1-1/e - \epsilon$ 的近似比。该工作提出了一套新颖的框架，利用快速数据结构维护图拟阵和划分拟阵中的最大权基，从而实现高效的交换操作，并通过改进的连续贪心方法实现舍入，整体时间复杂度为 $O(n \log^2 n)$。

ABSTRACT

We consider fast algorithms for monotone submodular maximization subject to a matroid constraint. We assume that the matroid is given as input in an explicit form, and the goal is to obtain the best possible running times for important matroids. We develop a new algorithm for a \\emph{general matroid constraint} with a $1 - 1/e - \\epsilon$ approximation that achieves a fast running time provided we have a fast data structure for maintaining a maximum weight base in the matroid through a sequence of decrease weight operations. We construct such data structures for graphic matroids and partition matroids, and we obtain the \\emph{first algorithms} for these classes of matroids that achieve a nearly-optimal, $1 - 1/e - \\epsilon$ approximation, using a nearly-linear number of function evaluations and arithmetic operations.

研究动机与目标

• 开发针对拟阵约束下单调子模最大化问题的快速算法，特别关注近乎线性的时间复杂度。
• 弥合最优 $1-1/e$ 近似比与图拟阵和划分拟阵等重要拟阵类在实际运行时间之间的差距。
• 设计高效的动态更新下支持快速减权和最大权基维护的数据结构。
• 针对可表示拟阵，实现 $1-1/e - \epsilon$ 的近似比，且函数评估和算术运算次数接近线性。
• 通过利用拟阵结构，将连续贪心框架扩展至近乎线性时间高效运行。

提出的方法

• 提出一种新算法框架，将子模最大化问题转化为在拟阵中维护权值减少时的最大权基问题。
• 设计一种基于欧拉回路树和红黑树的数据结构，以高效支持生成树中的边删除、插入和收缩操作。
• 使用 find-swap 操作，通过在红黑树上进行二分查找，定位可与生成树中的叶节点交换的候选边，实现 $O(\log^2 n)$ 的摊还时间复杂度。
• 实现 swap-and-contract 操作，通过每次收缩操作的摊还时间复杂度为 $O(\deg(v) \log n)$，移除一条边并收缩相邻顶点。
• 应用一种改进的连续贪心舍入过程，通过 $t-1$ 次调用基合并例程，将 $t$ 棵生成树组合起来，每次调用耗时 $O(n \log^2 n)$。
• 利用图拟阵和划分拟阵的结构，构建高效的数据结构，从而实现近乎线性时间的性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否在近乎线性时间内实现单调子模最大化在拟阵约束下的 $1-1/e - \epsilon$ 近似？
• RQ2 对于图拟阵和划分拟阵，能否设计支持权值减少下快速最大权基维护的数据结构？
• RQ3 是否可以通过利用拟阵特有结构，将连续贪心框架适配至近乎线性时间运行？
• RQ4 在可表示拟阵中，实现近乎最优近似比的最小运行时间开销是多少？
• RQ5 我们能否将函数评估次数和算术运算次数减少至近乎线性，同时保持高近似质量？

主要发现

• 所提出的算法在图拟阵和划分拟阵约束下，实现了 $1-1/e - \epsilon$ 的近似比。
• 算法的基合并过程时间复杂度为 $O(n \log^2 n)$，主导了整体复杂度。
• 用于维护最大权基的数据结构，分别支持边删除、插入和收缩操作，其摊还时间复杂度为 $O\big(\log n\big)$ 和 $O\big(\deg(v) \log n\big)$。
• 通过在欧拉回路表示的红黑树上进行二分查找，find-swap 操作的摊还时间复杂度为 $O(\log^2 n)$。
• SwapRounding 过程（将 $t$ 棵生成树的凸组合进行舍入）的时间复杂度为 $O(tn \log^2 n)$。
• 本工作首次为非平凡拟阵类（除基数约束外）的子模最大化问题建立了近乎线性时间算法。