[论文解读] Towards on-line Ohba's conjecture

Jakub Kozik, Piotr Micek+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 16被引用 6

一句话总结

该论文证实了对独立数至多为3的图，其在线版本的Ohba猜想成立，证明此类图的在线选择数等于其色数。此外，还证明了当 |V(G)| ≤ χ(G) + √χ(G) 时，图的在线选择数等于其色数，并为完全多部图 K_{3⋆k} 提供了界限。

ABSTRACT

The on-line choice number of a graph is a variation of the choice number defined through a two person game. It is at least as large as the choice number for all graphs and is strictly larger for some graphs. In particular, there are graphs $G$ with $|V(G)| = 2 χ(G)+1$ whose on-line choice numbers are larger than their chromatic numbers, in contrast to a recently confirmed conjecture of Ohba that every graph $G$ with $|V(G)| \le 2 χ(G)+1$ has its choice number equal its chromatic number. Nevertheless, an on-line version of Ohba conjecture was proposed in [P. Huang, T. Wong and X. Zhu, Application of polynomial method to on-line colouring of graphs, European J. Combin., 2011]: Every graph $G$ with $|V(G)| \le 2 χ(G)$ has its on-line choice number equal its chromatic number. This paper confirms the on-line version of Ohba conjecture for graphs $G$ with independence number at most 3. We also study list colouring of complete multipartite graphs $K_{3\star k}$ with all parts of size 3. We prove that the on-line choice number of $K_{3 \star k}$ is at most $3/2k$, and present an alternate proof of Kierstead's result that its choice number is $\lceil (4k-1)/3 ceil$. For general graphs $G$, we prove that if $|V(G)| \le χ(G)+\sqrt{χ(G)}$ then its on-line choice number equals chromatic number.

研究动机与目标

• 证实独立数至多为3的图的在线Ohba猜想。
• 建立在线选择数等于色数的充分条件。
• 分析完全多部图 K_{3⋆k}（每部分大小为3）的在线选择数。
• 为Kierstead关于 K_{3⋆k} 选择数的结果提供另一种证明。
• 将已知的选择数上界推广至在线设置，特别是针对稀疏图和有界度图。

提出的方法

• 采用博弈论框架：Lester与Painter之间的在线 (G,f)-列表染色游戏。
• 基于顶点数进行归纳，假设存在一个极小反例图 G 及其列表赋值 f。
• 基于列表大小分布进行分类讨论：k₁ 个大小为1的部分，k₃ 个大小为3的部分，以及 s 个大小为2的部分。
• 应用结构约束：对于大小为3的部分中的顶点 v，有 f(v) ≥ k₃ + k₁；对于大小为1的部分中的顶点 v，有 f(v) ≥ k₃。
• 使用列表合并与颜色移除技术，在保持列表大小条件的同时缩减图。
• 验证约化后的图 G′ 满足与 G 相同的不等式 (1)–(3.3)，从而保证归纳的闭包性。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有独立数至多为3的图 G 是否满足在线Ohba猜想，即其在线选择数是否等于其色数？
• RQ2 在何种条件下图 G 的在线选择数等于其色数，特别是当 |V(G)| ≤ χ(G) + √χ(G) 时？
• RQ3 完全3部图 K_{3⋆k}（k 个大小为3的部分）的在线选择数是多少？
• RQ4 能否使用在线列表染色技术重新证明Kierstead关于 K_{3⋆k} 选择数的结果？
• RQ5 标准的选择数上界是否能以相同方式推广到在线选择数？

主要发现

• K_{3⋆k} 的在线选择数至多为 (3/2)k，为该类图提供了紧致上界。
• 任意满足 |V(G)| ≤ χ(G) + √χ(G) 的图 G，其在线选择数等于其色数。
• 所有独立数至多为3的图均满足在线Ohba猜想。
• 为Kierstead关于 K_{3⋆k} 选择数为 ⌈(4k−1)/3⌉ 的结果提供了另一种证明。
• 论文证实，在给定的大小与独立数约束下，在线选择数被色数所界定，从而将已知结果扩展到了在线设置。