[论文解读] Towards Solving the Navier-Stokes Equation on Quantum Computers

Navamita Ray, Tirtha Banerjee+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 5被引用 7

一句话总结

本文提出了一种工作流程，通过固定点算术和最小二乘法最小化，将一维瞬态通道流的Navier-Stokes方程转化为二次无约束二值优化（QUBO）形式，从而在绝热量子退火器（如D-Wave）上求解。关键贡献在于证明了量子退火器分布中的加权均值和未加权均值解优于最低能量解，且性能对精度和网格分辨率敏感，这是首次尝试将流体动力学问题映射到量子退火器的尝试之一。

ABSTRACT

In this paper, we explore the suitability of upcoming novel computing technologies, in particular adiabatic annealing based quantum computers, to solve fluid dynamics problems that form a critical component of several science and engineering applications. We start with simple flows with well-studied flow properties, and provide a framework to convert such systems to a form amenable for deployment on such quantum annealers. We analyze the solutions obtained both qualitatively and quantitatively as well as the sensitivities of the various solution selection schemes on the obtained solution.

研究动机与目标

• 探索在绝热量子退火器上求解流体动力学问题（特别是Navier-Stokes方程）的可行性。
• 开发一种系统性工作流程，将实值PDE离散化转化为适用于D-Wave硬件的二值变量QUBO问题。
• 评估并比较不同的解提取策略（最低能量、未加权均值、加权均值）与经典数值解的性能。
• 分析量子解对定点算术精度和空间离散化网格分辨率的敏感性。
• 为将量子退火应用于流体力学和工程中由PDE产生的线性系统建立基础框架。

提出的方法

• 使用空间上的二阶中心差分和时间上的后向欧拉法对一维时间依赖的Navier-Stokes方程进行离散化。
• 通过可配置精度（2至8位）的定点算术将实值变量转换为二进制表示。
• 将所得线性系统表述为最小二乘法最小化问题，以支持QUBO映射。
• 将最小二乘问题映射为与D-Wave的Chimera架构兼容的二次无约束二值优化（QUBO）问题。
• 使用D-Wave量子退火器在多次运行中对解分布进行采样。
• 应用三种解提取策略：选择最低能量态、计算所有样本的未加权均值、计算按出现频率加权的均值。

实验结果

研究问题

• RQ1 一维通道流的Navier-Stokes方程是否能有效转化为可在D-Wave量子退火器上求解的QUBO形式问题？
• RQ2 在与经典双精度结果对比时，哪种解提取策略——最低能量、未加权均值或加权均值——能提供最准确的解？
• RQ3 解的精度和稳定性如何随定点精度和空间网格分辨率的变化而变化？
• RQ4 增加网格分辨率或精度是否总是能提高量子退火器上的解质量，还是反而会放大噪声？
• RQ5 量子解过程对嵌入和采样分布等参数是否存在固有敏感性？

主要发现

• 与经典解相比，D-Wave退火器输出的最低能量解在误差度量上表现最差。
• 未加权均值和加权均值解均显著优于最低能量解，且加权均值在多次运行中表现出更高的稳定性。
• 在较低的定点精度下（例如2–4位），未加权均值解优于加权均值，表明低精度下噪声占主导。
• 在较高精度下（例如6–8位），按出现频率加权解能获得更好的准确性，表明采样更可靠。
• 增加网格分辨率或精度并未统一提升解的准确性；相反，常会增加系统噪声，导致性能下降。
• 量子退火器的解分布表现出显著的可变性，表明在此类问题中，解提取策略的重要性超过硬件原始能力。