[论文解读] Towards Sub-Quadratic Diameter Computation in Geometric Intersection Graphs

Karl Bringmann, ‪Sándor Kisfaludi-Bak+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

Computational Geometry and Mesh Generation被引用 1

一句话总结

本文利用细粒度复杂性理论，为几何交集图中的直径计算建立了条件性下界。研究证明，在超立方体假设下，对于 R³ 中的单位球或 R² 中全等的正三角形，即使在近似计算情况下，也几乎不可能存在亚二次时间算法。其主要贡献在于将 3-均匀超图独立集问题归约至几何交集图，表明对于许多自然几何形状，高效的直径计算几乎不可能实现。

ABSTRACT

We initiate the study of diameter computation in geometric intersection graphs from the fine-grained complexity perspective. A geometric intersection graph is a graph whose vertices correspond to some shapes in $d$-dimensional Euclidean space, such as balls, segments, or hypercubes, and whose edges correspond to pairs of intersecting shapes. The diameter of a graph is the largest distance realized by a pair of vertices in the graph. Computing the diameter in near-quadratic time is possible in several classes of intersection graphs [Chan and Skrepetos 2019], but it is not at all clear if these algorithms are optimal, especially since in the related class of planar graphs the diameter can be computed in $\widetilde{\mathcal{O}}(n^{5/3})$ time [Cabello 2019, Gawrychowski et al. 2021]. In this work we (conditionally) rule out sub-quadratic algorithms in several classes of intersection graphs, i.e., algorithms of running time $\mathcal{O}(n^{2-δ})$ for some $δ>0$. In particular, there are no sub-quadratic algorithms already for fat objects in small dimensions: unit balls in $\mathbb{R}^3$ or congruent equilateral triangles in $\mathbb{R}^2$. For unit segments and congruent equilateral triangles, we can even rule out strong sub-quadratic approximations already in $\mathbb{R}^2$. It seems that the hardness of approximation may also depend on dimensionality: for axis-parallel unit hypercubes in~$\mathbb{R}^{12}$, distinguishing between diameter 2 and 3 needs quadratic time (ruling out $(3/2-\varepsilon)$- approximations), whereas for axis-parallel unit squares, we give an algorithm that distinguishes between diameter $2$ and $3$ in near-linear time. Note that many of our lower bounds match the best known algorithms up to sub-polynomial factors.

研究动机与目标

• 研究几何交集图中直径计算的细粒度复杂性。
• 确定在这些图中是否存在高效（亚二次时间）的算法来计算或近似直径。
• 基于标准假设（如超立方体假设和正交向量假设）建立条件性下界。
• 阐明维度和形状几何特性在直径计算可解性中的作用。

提出的方法

• 将 3-均匀超图独立集问题归约至高维空间中单位立方体的几何交集图。
• 构建左半部分、右半部分和边立方体，其交集用于建模超图中的顶点与边关系。
• 利用立方体的中心坐标编码顶点和边，确保交集关系与超图中的邻接关系一一对应。
• 证明所构造图的直径至多为 2，当且仅当该超图不包含大小为 6 的独立集。
• 利用超立方体假设，排除在所构造图中存在亚二次时间的直径计算算法。
• 将该归约应用于特定几何形状（如单位球、正三角形和轴对齐的超立方体），以获得形状相关的困难性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于单位球或正三角形等自然形状，能否在亚二次时间内计算几何交集图的直径？
• RQ2 在低维空间中，是否存在针对几何交集图直径的强亚二次近似算法？
• RQ3 环境空间的维度如何影响几何交集图中直径计算的复杂性？
• RQ4 几何交集图中直径计算的困难性是否与形状的几何属性（如“肥大”或轴对齐）相关？
• RQ5 超立方体假设能否用于为几何交集图中的直径计算建立紧致的下界？

主要发现

• 除非超立方体假设不成立，否则不存在 O(n²−δ) 时间算法来计算 R³ 中单位球的直径。
• 对于 R² 中全等的正三角形，即使在 (3/2−ε)-近似（强近似）情况下，也不存在亚二次时间算法用于直径计算。
• 在 R¹² 中，区分轴对齐单位超立方体图的直径为 2 或 3 需要二次时间，因此排除了 (3/2−ε)-近似算法。
• 对于 R² 中的轴对齐单位正方形，存在近线性时间算法可区分直径为 2 或 3，显示出与高维情况的显著对比。
• 从 3-均匀超图独立集问题到几何交集图的归约，建立了与目前已知最佳算法在子多项式因子范围内匹配的紧致条件性下界。
• 结果表明，形状的几何结构和环境维度对直径计算的复杂性具有决定性影响，某些形状本质上比其他形状更难处理。