[论文解读] Towards the ample cone of $\mgn$

Angela Gibney, Seán Keel+1 more|ArXiv.org|Jun 27, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文提出了对稳定 $n$-点型亏格 $g$ 曲线模空间 $\overline{M}_{g,n}$ 的ample 锥的猜想性刻画：一个除子是 ample 的当且仅当它与所有 1-维 strata 的交集为正。关键结果表明，该猜想对所有 $g$ 成立当且仅当它对 $g=0$ 成立，从而将一般问题约化为亏格零的情形，此时在低亏格下已知成立，并得到来自 GIT 商和 toric 同态的证据支持。

ABSTRACT

In this paper we study the ample cone of the moduli space $\mgn$ of stable $n$-pointed curves of genus $g$. Our motivating conjecture is that a divisor on $\mgn$ is ample iff it has positive intersection with all 1-dimensional strata (the components of the locus of curves with at least $3g+n-2$ nodes). This translates into a simple conjectural description of the cone by linear inequalities, and, as all the 1-strata are rational, includes the conjecture that the Mori cone is polyhedral and generated by rational curves. Our main result is that the conjecture holds iff it holds for $g=0$. More precisely, there is a natural finite map $r: \vmgn 0. 2g+n. o \mgn$ whose image is the locus $ gn$ of curves with all components rational. Any 1-strata either lies in $ gn$ or is numerically equivalent to a family $E$ of elliptic tails and we show that a divisor $D$ is nef iff $D \cdot E \geq 0$ and $r^*(D)$ is nef. We also give results on contractions (i.e. morphisms with connected fibers to projective varieties) of $\mgn$ for $g \geq 1$ showing that any fibration factors through a tautological one (given by forgetting points) and that the exceptional locus of any birational contraction is contained in the boundary. Finally, by more ad-hoc arguments, we prove the nefness of certain special classes.

研究动机与目标

• 解决 Mumford 关于 $\overline{M}_{g,n}$ 的 ample 锥结构的开放问题。
• 基于对 1-维 strata 的正性，提出 ample 锥的猜想性线性不等式刻画。
• 通过一个有限映射 $r: \overline{M}_{0,2g+n} \to \overline{M}_{g,n}$，将 $g \geq 1$ 的一般问题约化为亏格零情形。
• 分析 $\overline{M}_{g,n}$ 的同态，特别是纤维化和除子性同态，并证明它们通过典范映射或收缩椭圆尾部实现。
• 确立 Mori 锥由有理曲线和椭圆尾部生成，且当 $g \geq 5$ 时，相对 Picard 数为 1 的除子性同态的唯一例外点集为椭圆尾部。

提出的方法

• 利用一个自然的有限态射 $r: \overline{M}_{0,2g+n} \to \overline{M}_{g,n}$，其像为有理曲线的闭子簇 $\overline{R}_{g,n}$，将 $\overline{M}_{g,n}$ 上的 nef 性与 $\overline{M}_{0,2g+n}$ 上的 nef 性联系起来。
• 证明 $\overline{M}_{g,n}$ 上的除子 $D$ 是 nef 的当且仅当它与所有 1-strata 的交集非负，且 $D|_{\overline{F}_{g,n}}$ 是 nef 的，其中 $\overline{F}_{g,n}$ 是旗曲线的闭子簇。
• 将 Mori 锥 $\overline{NE}_1(\overline{M}_{g,n})$ 刻画为 $\overline{NE}_1(\overline{M}_{0,2g+n}) \times \mathbb{R}_{\geq 0}$ 的商，其生成元来自有理曲线和椭圆尾部。
• 分析 $g \geq 2$ 时 $\overline{M}_{g,n}$ 的纤维化，证明它们通过典范纤维化（遗忘点）与双有理态射的复合实现。
• 利用形变理论和相对 Néron-Severi 群，证明当 $g \geq 5$ 时，唯一的相对 Picard 数为 1 的除子性同态是椭圆尾部的爆破收缩。
• 借助关于 $\overline{M}_{0,n}$ 的已知结果，包括 Kapranov 的逆极限描述以及 Losev-Manin 的 toric 紧化 $\overline{L}_{n-2}$，为该猜想提供证据。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以通过对所有 1-维 strata 的正性来刻画 $\overline{M}_{g,n}$ 的 ample 锥？
• RQ2 一个除子是 ample 的当且仅当它与所有 1-strata 正性相交的猜想，是否对 $g \geq 1$ 成立当且仅当它对 $g = 0$ 成立？
• RQ3 $\overline{M}_{g,n}$ 在 $g \geq 2$ 时可能的纤维化和除子性同态有哪些？
• RQ4 $\overline{NE}_1(\overline{M}_{g,n})$ 的极射线是否仅由有理曲线和椭圆尾部生成？
• RQ5 能否将 $\overline{M}_{g,n}$ 的 Mori 锥描述为 $\overline{M}_{0,2g+n}$ 的 Mori 锥的商？

主要发现

• 猜想 $F_1(\overline{M}_{g,n})$ 成立当且仅当它对 $g = 0$ 成立，从而将一般问题约化为亏格零情形。
• 在 $\overline{M}_{g,n}$ 上，除子 $D$ 是 nef 的当且仅当它与所有 1-strata 的交集非负，且 $D|_{\overline{F}_{g,n}}$ 是 nef 的，其中 $\overline{F}_{g,n}$ 是旗曲线的闭子簇。
• Mori 锥 $\overline{NE}_1(\overline{M}_{g,n})$ 由有理曲线（位于 $\overline{R}_{g,n}$ 中）和椭圆尾部生成，且后者在族中数值等价。
• 在特征零下，当 $g \geq 5$ 时，$\overline{M}_{g,n}$ 的唯一相对 Picard 数为 1 的除子性同态是椭圆尾部闭子簇的爆破收缩。
• 猜想 $F_1(\overline{M}_{0,n})$ 得到来自 toric 紧化 $\overline{L}_{n-2}$ 的支持，这些是 $\overline{M}_{0,n}$ 的同态，且对所有 $k$ 满足 $F_k(\overline{L}_{n-2})$。
• 在特征零下，$F_1(\overline{M}_{g,n})$ 对 $g+n \leq 7$ 成立，且当 $n=0$ 时对 $g \leq 11$ 成立，扩展了此前对 $g \leq 4$ 的结果。