[论文解读] Towards the Born-Weyl Quantization of Fields

Igor V. Kanatchikov|ArXiv.org|Dec 31, 1997

Spectral Theory in Mathematical Physics被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于 Born-Weyl 多动量哈密顿形式的场论协变量子化框架，利用微分形式上的分次泊松括号，推导出一个针对超复波函数的协变薛定谔型方程。其主要贡献在于表明，该理论的准经典极限重现了 De Donder-Weyl 哈密顿-雅可比方程，从而为量子场论提供了一种具有明显时空协变性的新几何方法。

ABSTRACT

Elements of the quantization in field theory based on the covariant polymomentum Hamiltonian formalism (the De Donder-Weyl theory), a possibility of which was originally discussed in 1934 by Born and Weyl, are developed. The approach is based on a recently proposed graded Poisson bracket on differential forms in field theory (see e.g. hep-th/9709229). A covariant analogue of the Schrödinger equation for a hypercomplex wave function on the space of field and space-time variables is put forward. It is shown to lead to the De Donder-Weyl Hamilton-Jacobi equations in quasiclassical limit. A possible relation to the functional Schrödinger picture in quantum field theory is outlined.

研究动机与目标

• 开发一种场论的显式协变量子化方案，以解决标准正则量子化方法的局限性。
• 实现 Born 和 Weyl（1934）关于场论中多动量哈密顿形式的长期设想。
• 在时空-场构型空间上，利用超复波函数构造薛定谔方程的协变类比。
• 在所提出的量子形式与量子场论中的泛函薛定谔图像之间建立几何联系。
• 在准经典极限下，证明其与 De Donder-Weyl 哈密顿-雅可比方程的一致性。

提出的方法

• 利用近期发展的场论中微分形式上的分次泊松括号，推广正则结构。
• 在场变量与时空变量的总空间上引入一个超复波函数。
• 通过多动量形式与分次泊松括号推导出一个协变薛定谔型方程。
• 对波方程应用准经典近似，以恢复 De Donder-Weyl 哈密顿-雅可比方程。
• 在所提出的形式与量子场论中的泛函薛定谔图像之间建立对应关系。
• 以 De Donder-Weyl 理论作为经典起点，将哈密顿力学推广至具有时空对称性的场论。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过多动量哈密顿形式实现场论的显式协变量子化？
• RQ2 在具有时空协变性的场论量子化框架中，如何一致地定义超复波函数？
• RQ3 所提出的薛定谔型方程在准经典极限下是否可约化为 De Donder-Weyl 哈密顿-雅可比方程？
• RQ4 所提出的形式与量子场论中的泛函薛定谔图像之间存在何种关系？
• RQ5 微分形式上的分次泊松括号能否为场论量子化提供一致的基础？

主要发现

• 所提出的协变薛定谔方程通过微分形式上的分次泊松括号推导得出，确保了时空协变性。
• 波方程的准经典极限重现了 De Donder-Weyl 哈密顿-雅可比方程，验证了经典对应关系。
• 该形式为 Born-Weyl 场论量子化计划提供了几何实现，将他们 1934 年的设想拓展至现代场论。
• 超复波函数形式允许在量子领域统一处理场变量与时空变量。
• 该方法为泛函薛定谔图像提供了新视角，暗示了量子场论更深层的几何基础。
• 该方法与广义协变性原理一致，并为在弯曲时空或量子引力中的进一步量子化提供了框架。