[论文解读] Towards the continuum limit of a $(1+1)$d quantum link Schwinger model

Torsten V. Zache, Maarten Van Damme+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2021

Quantum and electron transport phenomena被引用 4

一句话总结

本文通过在大自旋长度 $S$、大系统尺寸 $N$ 和趋于零的晶格间距 $a$ 下对基态能量和介子质量进行数值外推，展示了在 (1+1)d U(1) 量子链施温格模型中实现连续极限的方法。结果表明，半整数自旋表示自然实现拓扑角 $ heta = heta$，并通过广义 PXP 模型解析计算了物理希尔伯特空间维数，从而为量子模拟量子电动力学（QED）提供了资源估算依据。

ABSTRACT

The solution of gauge theories is one of the most promising applications of quantum technologies. Here, we discuss the approach to the continuum limit for $U(1)$ gauge theories regularized via finite-dimensional Hilbert spaces of quantum spin-$S$ operators, known as quantum link models. For quantum electrodynamics (QED) in one spatial dimension, we numerically demonstrate the continuum limit by extrapolating the ground state energy, the scalar, and the vector meson masses to large spin lengths $S$, large volume $N$, and vanishing lattice spacing $a$. By exactly solving Gauss' law for arbitrary $S$, we obtain a generalized PXP spin model and count the physical Hilbert space dimension analytically. This allows us to quantify the required resources for reliable extrapolations to the continuum limit on quantum devices. We use a functional integral approach to relate the model with large values of half-integer spins to the physics at topological angle $Θ=π$. Our findings indicate that quantum devices will in the foreseeable future be able to quantitatively probe the QED regime with quantum link models.

研究动机与目标

• 展示在 (1+1)d U(1) 量子链模型（QLM）中实现量子电动力学（QED）的连续极限。
• 通过大自旋长度 $S$、大体积 $N$ 和趋于零的晶格间距 $a$，对物理可观测量——基态能量和标量/矢量介子质量——进行数值外推，以逼近连续极限。
• 通过精确求解高斯定律，解析计算 QLM 的物理希尔伯特空间维数，从而导出广义 PXP 自旋模型。
• 通过大-$S$ 极限下的贝里相位，建立大半整数自旋表示与拓扑角 $\Theta = \pi$ 之间的联系。
• 量化近期量子设备上实现连续极限可靠外推所需的量子资源。

提出的方法

• 对任意自旋 $S$ 精确求解高斯定律，得到广义 PXP 自旋模型，从而实现对物理希尔伯特空间维数的解析计数。
• 采用数值对角化和无限矩阵乘积态（iMPS）技术，计算零动量区段的基态能量和介子质量。
• 通过功能积分形式将 QLM 的大-$S$ 极限映射到威尔逊规范场理论作用量，其中麦克斯韦项在连续极限下自然出现。
• 证明自旋-$S$ 算符相干态的贝里相位贡献可生成对 $S$ 的整数与半整数性质敏感的拓扑项。
• 在大-$S$ 极限下，该拓扑项贡献为 $2\pi S$，当 $S$ 为半整数时对应 $ heta = \pi$ 相位，与威尔逊形式中的 $\Theta = \pi$ 等价。
• 对 $S$、$N$ 和 $a$ 的可观测量进行系统性外推，以逼近连续极限，并提供误差估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以通过在自旋长度 $S$、系统尺寸 $N$ 和晶格间距 $a$ 上的系统性外推，实现 (1+1)d 量子链施温格模型的连续极限？
• RQ2 自旋 $S$ 的选择——特别是整数与半整数——如何影响有效作用量中拓扑项的出现？
• RQ3 对于任意 $S$，量子链模型中物理希尔伯特空间的精确维数是多少？其标度行为如何？
• RQ4 QLM 的大-$S$ 极限是否能重现威尔逊晶格规范场理论作用量，包括麦克斯韦项和拓扑项？
• RQ5 在近期量子设备上使用 QLM 模拟施温格模型的 QED 区域，其资源需求是多少？

主要发现

• 随着 $S$、$N$ 和 $1/a$ 的增加，(1+1)d 量子链施温格模型中的基态能量和标量/矢量介子质量收敛于连续极限下的解析预测值。
• 通过精确求解高斯定律，QLM 的物理希尔伯特空间维数被解析确定，得到广义 PXP 模型，当 $S=1/2$ 时其态数为 $\mathcal{O}(2^N)$。
• 半整数自旋表示（$S = 1/2, 3/2, \dots$）在大-$S$ 极限下产生 $\pi$ 的贝里相位，对应于威尔逊形式中的拓扑角 $\Theta = \pi$。
• 整数自旋表示（$S = 1, 2, \dots$）产生 $2\pi$-周期性相位，拓扑上平凡，除晶胞项外不贡献于有效作用量。
• 功能积分方法证实，大-$S$ 极限重现了威尔逊晶格规范场理论作用量，其中麦克斯韦项独立于 $S$ 出现，而拓扑项依赖于自旋的奇偶性。
• 本研究为资源估算提供了定量路线图，表明在近期量子设备上实现连续极限的可靠外推是可行的。